GéométrieNotion · Glossaire
Voizot Edme
Edme Voizot (1801-1867) est un scientifique français du XIXe siècle. Son œuvre publiée comprend notamment un mémoire consacré à la mécanique et à la cosmogonie, ainsi qu'un travail intitulé Notes sur les courbes à double courbure, paru en 1852. Les courbes à double courbure, aussi appelées courbes gauches ou courbes de l'espace, sont des courbes qui ne sont pas contenues dans un unique plan et dont l'étude nécessite des outils de la géométrie différentielle spatiale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une courbe gauche sans confondre projection et courbe spatiale.
- Vérifier la non-coplanarité d'une hélice par un calcul de coordonnées.
- Identifier les limites liées au domaine et à la régularité.
En clair
Imaginez un fil que l'on enroule autour d'un axe tout en le faisant monter. Le fil tourne, avance et change donc de hauteur : il ne reste pas dans une feuille de papier. Une telle trajectoire est une courbe gauche, ou courbe à double courbure.
Une courbe plane peut toujours être dessinée entièrement sur un même plan. Pour une courbe gauche, aucun plan unique ne contient tous les points. La géométrie différentielle spatiale fournit les outils pour décrire cette trajectoire et ses changements de direction.
Définition
Une courbe à double courbure est une courbe de l'espace qui n'est pas contenue dans un unique plan. L'expression courbe gauche insiste sur cette propriété géométrique ; elle ne signifie pas que la courbe est orientée vers la gauche.
On peut décrire une telle courbe par une paramétrisation : le paramètre t repère un point, et les trois coordonnées de ce point dépendent de t. Par exemple, la trajectoire , pour 0 ≤ t ≤ 2π, est une hélice. Ses deux premières coordonnées la font tourner autour de l'axe vertical, tandis que sa troisième coordonnée augmente.
La paramétrisation doit être suffisamment régulière pour que l'on puisse parler de tangente et de courbure. Une courbe qui se trouve dans un plan mais qui est dessinée de façon compliquée reste plane ; la forme du tracé ou le choix du paramètre ne suffit donc pas à la rendre gauche.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'hélice entre t = 0 et t = 2π. Les quatre valeurs choisies sont t = 0, π/2, π et 3π/2.
Pour t = 0, le point est A = (1, 0, 0).
Pour t = π/2, le point est B = (0, 1, π).
Pour t = π, le point est C = (−1, 0, 2π).
Pour t = 3π/2, le point est D = (0, −1, 3π).
Pour t = π/2, le point est B = (0, 1, π).
Pour t = π, le point est C = (−1, 0, 2π).
Pour t = 3π/2, le point est D = (0, −1, 3π).
Les trois premiers points A, B et C appartiennent au plan z = π(1 − x). En effet, cette équation donne successivement 0, π et 2π. Pour D, elle donnerait z = π, alors que sa troisième coordonnée vaut 3π.
Les quatre points ne sont donc pas coplanaires. Comme ils appartiennent à l'hélice, aucun plan unique ne contient toute cette courbe : c'est bien une courbe gauche. Le contrôle se refait en remplaçant les coordonnées de chaque point dans l'équation du plan déterminé par A, B et C.
En pratique
En modélisation spatiale, une courbe gauche représente une trajectoire qui tourne et se déplace hors d'un plan, comme l'hélice de l'exemple. On suit alors ses trois coordonnées, et non seulement sa projection sur une feuille.
Pour étudier localement la direction de la trajectoire, on utilise la géométrie différentielle spatiale. La courbe est décrite par une paramétrisation régulière afin de pouvoir comparer ses tangentes et ses variations de direction.
Si les données restent dans un plan, une description de géométrie plane suffit. Le critère observable est alors l'existence d'un même plan contenant tous les points étudiés.
À ne pas confondre
Une courbe plane et une courbe gauche sont deux objets différents. Le critère testable est l'existence d'un plan contenant toute la courbe ; l'unicité de ce plan ne vaut que sous des hypothèses supplémentaires. Un cercle est plane, même s'il est placé dans l'espace ; l'hélice de l'exemple est gauche, car ses quatre points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
Une projection plane n'est pas la courbe elle-même. Une courbe gauche peut avoir une projection qui ressemble à un cercle ou à une autre courbe plane. Pour trancher, il faut examiner les trois coordonnées de la courbe spatiale, pas seulement son ombre.
Limites et pièges
Une portion de courbe peut être plane alors que la courbe prolongée ne l'est pas. Le symptôme est un test de coplanarité concluant sur quelques points, mais pas sur l'ensemble du domaine. Il faut préciser l'intervalle de paramètre étudié avant de qualifier la courbe.
La projection sur un plan peut masquer la variation de hauteur. Le symptôme est un dessin apparemment fermé ou circulaire alors que la troisième coordonnée varie. Il faut conserver cette coordonnée et vérifier la propriété dans l'espace.
Le terme « double courbure » ne veut pas dire que toute courbe gauche possède deux courbures indépendantes non nulles en chaque point. Une paramétrisation non régulière peut même empêcher de définir la tangente. Il faut donc vérifier la régularité avant tout calcul différentiel.
Pour aller plus loin
Pour voir une courbe sortir du plan sur un cas visuel, consultez Des courbes qui sortent du plan. Le lecteur y gagne une intuition graphique complémentaire de l'hélice et de la non-coplanarité.
Pour replacer ces trajectoires dans leur cadre mathématique, consultez La géométrie de l'information. Le lien permet de situer l'emploi des outils de géométrie différentielle au-delà de cet exemple.
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