La charge électrique ponctuelle

Le champ électrique E à une distance r de l’électron est égal à $e\mathrm{/}4\pi {ϵ}_0{r}^2,e/4\backslash pi\backslash epsilon\_0r^2,$ champ qui est infini quand r est nul. C’est gênant. La difficulté était déjà présente dans l’équation de Laplace, qui détermine le potentiel électrique $\mathrm{\Delta }\text{V}=0\backslash Delta\; \backslash text\{V\}\; =\; 0$, où $\mathrm{\Delta }\text{V}={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\text{V}}{\mathrm{\partial }{x}^2}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\text{V}}{\mathrm{\partial }{y}^2}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\text{V}}{\mathrm{\partial }{z}^2}}\backslash Delta\; \backslash text\{V\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\; ^2\; \backslash text\{V\}\}\; \{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash dfrac\{\backslash partial\; ^2\; \backslash text\{V\}\}\; \{\backslash partial\; y^2\}\; +\; \backslash dfrac\{\backslash partial\; ^2\; \backslash text\{V\}\}\; \{\backslash partial\; z^2\}$

désigne le laplacien. Le problème a été résolu par la théorie des distributions, le point chargé étant assimilé à la « fonction » δ de Dirac : $$\mathrm{\Delta }\text{V}=e\delta (r)\mathrm{/}4\pi {\epsilon }_0\mathrm{.}\backslash Delta\; \backslash text\{V\}\; =\; e\; \backslash delta\; (r)\; /\; 4\backslash pi\; \backslash varepsilon\; \_0.$$

Une difficulté du même ordre s’est posée lors de l’invention du spin. Pour expliquer la structure fine des raies d’hydrogène et le résultat de l’expérience de Stern–Gerlach, dans laquelle un faisceau d’électrons est séparé en deux parties dans un champ magnétique hétérogène. George Eugene Uhlenbeck et Samuel Abraham Goudsmit proposèrent, en 1925, de conférer un moment magnétique de valeur 1/2 à l’électron, valeur qui expliquait les observations. Quand Uhlenbeck proposa ce modèle de l’électron à son mentor, le physicien Paul Ehrenfest, celui-ci décela une impossibilité. À l’époque pré-quantique, on assignait un rayon à l’électron en égalant son énergie électrostatique à son énergie au repos (via E = mc ² ) : r = e ²/(4πε₀ mc ² ). L’électron devait tourner sur lui-même pour que sa charge engendre un champ magnétique. Ehrenfest calcula que certaines parties tournantes de l’électron dépassaient la vitesse de la lumière ! Donc on ne savait pas comment une charge électrique ponctuelle en rotation engendrait un champ magnétique, et quand on lui soumettait un rayon, le problème subsistait. Heureusement, Ehrenfest argumenta que Uhlenbeck était assez jeune pour faire une erreur et l’encouragea à publier son hypothèse ; la mécanique quantique lui donna raison. Ainsi Uhlenbeck inventa le spin de l’électron.