Tangente et dérivée

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Si, dans le plan euclidien muni d’un repère, on se donne une courbe (C) d’équation f (x) = 0, ainsi que deux points M₀ et M de la courbe (d’abscisses respectives x₀ et x), le coefficient directeur de la droite sécante (M₀M) est donné par le taux de variations entre les points M₀ et M : il est égal à $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\backslash frac\{f(x)-f(x\_0)\}\{x-x\_0\}$.

Quand le point M tend vers M₀, la droite (M₀M), sécante à la courbe (C), tend, en général, vers une position qui est celle de la tangente en M₀ à (C) (en bleu dans le graphique) : même sans définir précisément cette notion de limite, on peut constater, sur le graphique, que la droite (M₀M’) est « plus proche » de la tangente en M₀ que la droite (M₀M) car le point M’ est « plus proche » de M₀ que M. Des cas particuliers peuvent se produire en certains points où il n’y aura pas de tangente ou pour des courbes très « pathologiques ».

Le coefficient directeur de la tangente est donc, en général, la limite du coefficient directeur de la droite (M₀M), c’est-à-dire la limite du taux de variation entre M₀ et M quand M tend vers M₀, autrement dit quand x tend vers x₀. C’est la valeur du nombre dérivé de f en x₀ :