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Enseigner les complexes en France
Les nombres complexes, s'ils paraissent évidents dans le libellé des programmes scolaires d'aujourd'hui, n'ont pas toujours fait partie du corpus d'enseignement des lycées.
Les complexes selon Adrien Douady | Tangente
Le film Dimensions donne à voir un certain nombre de représentations spectaculaires des complexes. À redécouvrir d'urgence !
La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann
Le problème le plus important des mathématiques contemporaines peut être formulé de manière tout à fait élémentaire avec seulement quelques rudiments d'analyse complexe. Malgré les efforts titanesques des mathématiciens, l'hypothèse de Riemann résiste et reste hors d'atteinte.
L'exponentielle complexe
Comment étendre la classique fonction exponentielle aux nombres complexes ? Les propriétés usuelles seront-elles conservées ? Si l'exponentielle ainsi étendue s'étudie aisément, la notion de logarithme complexe associée est plus difficile à cerner. Elle fera l'objet de polémiques au XVIIIe siècle.
Le théorème de Marden
Les nombres complexes, nés de calculs impossibles, ont trouvé une interprétation géométrique improbable. Cette rencontre entre le monde de l'algèbre et celui de la géométrie est magnifiquement illustrée par des théorèmes sur les racines d'un polynôme complexe.
La géométrie des complexes
Le rêve de René Descartes, à savoir transformer un problème de géométrie pure en un problème algébrique, était bien réalisable… mais plus d'un siècle plus tard ! Grâce aux nombres complexes, une autre façon d'explorer les figures et constructions géométriques a ainsi vu le jour.
PodcastUne autre transformation : l'inversion
Les isométries (et plus généralement les similitudes) ne sont pas les seules transformations du plan qui se décrivent facilement à l'aide des nombres complexes. C'est aussi le cas de l'inversion.
Des similitudes intéressantes...
L'étude des isométries se traite bien du point de vue des nombres complexes. Ces transformations ne sont cependant pas les seules à pouvoir être décrites par des formules simples ! Si l'on s'affranchit de la conservation des longueurs, la vaste famille des similitudes s'offre à nous.
PodcastLes isométries du plan
L'étude des isométries du plan (symétries, translations, rotations...) peut parfois donner le vertige. Que devient un point ou une figure lorsque l'on applique successivement plusieurs transformations ? Les nombres complexes en donnent une représentation aussi élégante que lumineuse.
PodcastDes nombres pas si complexes
Quelle réalité recouvrent les nombres complexes ? Comment « imaginer » que i² soit égal à -1 ? Une réponse visuelle saisissante passe par une interprétation géométrique de la notion de multiplication. Cerise sur le gâteau, le même modèle explique pourquoi « moins par moins fait plus ».
Conjugué, module et arguments
Une fois admise l'existence d'un nombre i tel que i²=-1, ne risque-t-on pas de perdre le contact avec la réalité physique ? Au contraire, une correspondance profonde et féconde se met en place : des questions de géométrie pure sont réglées par de simples manipulations algébriques.
Construire des ellipses à la main | Tangente
Les algorithmes en lignePrendre des décisions sans connaître l'avenir
Le don de deviner le futur serait évidemment un atout considérable. Qui n'en a jamais rêvé ? À défaut de boule de cristal, les mathématiques nous permettent de prendre des décisions peu pénalisantes, sans pour autant connaître l'avenir. Bienvenue dans le monde des algorithmes en ligne.
Poincaré, géométrie et robotique | Tangente
Les mathématiques, et en particulier la géométrie, sont une composante essentielle dans le domaine le plus technique qui soit : la robotique. La notion d'espace, que le mathématicien Henri Poincaré (1854-1912) a analysée en profondeur, est au coeur de la démarche de l'ingénieur roboticien.
Faille Logjam dans le protocole HTTPS | Tangente
Une équipe de chercheurs franco-américaine vient de tricher… mais pour la bonne cause ! Leur but ? Vérifier les mécanismes cryptographiques utilisés pour sécuriser les communications sur Internet.
PodcastLe code secret des luthiers décrypté | Tangente
Les luthiers de la maison parisienne Gand & Bernardel, célèbre dynastie de fabricants de violons de 1795 à la Seconde Guerre mondiale, avaient un code pour opérer, sur leurs bordereaux, en toute discrétion.
Tangente a 30 ans 30 façons de le soutenir
Le magazine Tangente, qui va fêter ses 30 ans, est devenu une référence universelle, une composante incontournable du paysage de la culture mathématique. Pourtant, votre soutien est plus que jamais nécessaire à sa continuation.
Pari sur les présidentielles : lecteurs contre sondages
Vous êtes nombreux à avoir participé au défi d'approcher au mieux le résultat des présidentielles. La gagnante est Élisabeth Pietravalle. Loin derrière, Ipsos se révèle le meilleur institut.
PodcastNombres en triangle : jeux mathématiques à chercher
La disposition des nombres du triangle de Pascal se prête évidemment au jeu, et nombre de récréations mathématiques y font référence.
Les nombres complexes de module 1
De simples symboles formels pour le calcul algébrique, les nombres complexes deviennent, par leur interprétation géométrique, d'un usage courant à partir du XIXe siècle… dans presque tous les domaines mathématiques ! Ils interviennent ainsi naturellement en théorie des nombres.