Savoirs
Articles de fond sur les connaissances et théories mathématiques
PodcastLes schémas aux différences finies
La physique, la biologie, la chimie, la mécanique et bien d’autres domaines regorgent de phénomènes qui se prêtent à une modélisation mathématique sous forme d’équations différentielles ou aux dérivées partielles. Il n’est généralement pas possible de résoudre explicitement ces équations. Dès lors, il faut chercher à les approcher…
PodcastProuver sans rien dire
Un dessin ou un diagramme ne remplaceront jamais une démonstration « en bonne et due forme », mais ils peuvent contribuer à la rendre évidente. À ce titre, les preuves sans mots chères aux mathématiciens sont un bel exercice de style. Certaines telles preuves sont devenues des classiques du genre.
PodcastQuand les méthodes numériques donnent la solution
Hormis si une équation différentielle est linéaire ou si elle est d’un type très particulier, il n’existe pas en général de méthode exacte pour la résoudre, c’est-à-dire pour en trouver une solution. On est donc souvent obligé de recourir à des méthodes approchées et à des schémas numériques.
PodcastUne relation entre fonctions et dérivées
Historiquement, les équations différentielles sont apparues au début du développement de l’analyse, à l’occasion de problèmes de géométrie et de mécanique.
PodcastLa statique graphique
Connaissez-vous la « statique graphique » ? Issue des mathématiques, et en particulier de la géométrie, il s’agit de l’art d’équilibrer les forces qui s’exercent sur un corps… sans faire aucun calcul. Étonnamment, les origines de la discipline remontent à bien avant l’introduction des vecteurs !
PodcastLes diagrammes chez Lewis Carroll
Lewis Carroll est connu dans le monde entier comme l’auteur d’Alice au pays des merveilles. Sous ce pseudonyme se cachait en fait un professeur de mathématiques à Oxford, Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), qui était féru de logique.
PodcastRéforme du lycée : les maths prennent la tangente | Tangente
En janvier dernier, la Société mathématique de France ainsi que plusieurs sociétés savantes et associations de professionnels ont alerté le ministère sur les effets catastrophiques pour l’enseignement des maths de la nouvelle réforme des lycées. Explications et analyses, chiffres à l’appui.
PodcastMa première équation différentielle | Tangente
Les équations différentielles vous font peur ? C’est vrai, il y a de quoi. On peut néanmoins les approcher très facilement en fixant quelques contraintes ; la linéarité est l’une d’entre elles. Et quand les facteurs qui interviennent sont des constantes, elles deviennent à la portée de tous, surtout quand le second membre est nul.
PodcastÉquations différentielles / Connaître l’espace des solutions sans les calculer
Mélanger les outils, méthodes et techniques de la géométrie, de l’algèbre et de l’analyse peut conduire à des résultats particulièrement fructueux et spectaculaires. Ainsi, il est parfois possible d’obtenir des informations sur l’espace des solutions d’une équation différentielle sans avoir à calculer lesdites solutions !
PodcastAu-delà de la convexité | Tangente
L’idée intuitive de la notion de convexité semble des plus naturelles. Pourtant, on ne peut éviter de se demander si, en modifiant légèrement la définition formelle, on n’aboutirait pas à d’autres idées intéressantes… Effectivement, à ce niveau-là également, la convexité est fertile !
PodcastDes fonctions utiles en analyse
Avec un graphe « tourné vers le ciel », les fonctions convexes poussent à l’optimisme. Plus sérieusement, introduites pour prouver de jolies inégalités, elles ont montré leur importance bien au-delà des mathématiques. Mais, précisément, quelles sont les propriétés des fonctions convexes ?
PodcastDes formes surprenantes dans l’espace
Comme dans le plan, on peut définir dans l’espace de nombreuses boules associées à des normes. On va trouver des polyèdres, certains réguliers, d’autres plus surprenants. On peut ainsi confectionner une jolie collection festive de boules assorties à votre prochain sapin de Noël !
PodcastDes boules dans le plan
Une boule sphérique, c’est l’ensemble des points dont la distance à un centre est inférieure à une constante. Les mathématiciens, toujours en recherche de généralisation, acceptent cette définition d’une boule… dans n’importe quel espace, muni d’une « distance » quelconque.
PodcastLa géométrie convexe
La géométrie convexe se situe à la frontière de l’optimisation, de l’analyse, de la topologie, de la combinatoire et évidemment de la géométrie. Les interprétations graphiques ou visuelles qu’elle permet sont un outil puissant pour l’intuition. Pour autant, des questions fondamentales restent encore ouvertes.
PodcastDistances etonnantes : Manhattan et Tchebychev | Tangente
La distance euclidienne dans le plan, c’est celle que tout le monde connaît : elle exprime que le chemin le plus court entre deux points est obtenu en ligne droite. Mais il en existe beaucoup d’autres, souvent atypiques. Certaines sont même très étonnantes…
PodcastSi loin, si près…
Quelle est la distance entre Paris et Rome ? Face à cette question, il est légitime de se demander si l’on sous-entend « à vol d’oiseau », « en train », « en voiture » ou « au sens euclidien ». Avec les distances ultramétriques, on découvre même un univers dans lequel tous les triangles sont isocèles.
PodcastPoints sur la sphere : probleme des dictateurs | Tangente
Comment répartir « le mieux possible » des points sur une sphère ? L’idée est que les points soient « les plus éloignés possible les uns des autres ». En considérant deux points, trois points ou quatre points, on pourrait croire que les sommets d’un polyèdre régulier inscrit dans la sphère conviennent. Et pourtant…
PodcastLe probleme de Berlekamp : jeu de strategie | Tangente
La notion de distance peut trouver des applications dans des domaines parfois inattendus. Un exemple ludique est la résolution du problème de Berlekamp, dans laquelle la distance de Hamming fait une apparition et s’avère particulièrement efficace !
PodcastLe problème d'évolution en relativité générale
Les équations de la relativité générale d'Einstein sont redevenues très à la mode ces dernières années. Des progrès ont été obtenus sur la stabilité de l'espace de Minkowski et sur la toujours insaisissable conjecture de censure cosmique, énoncée par le prix Nobel de physique 2020 Roger Penrose...
PodcastUn rêve d'architecte ?
Le nombre d'or, c'est bien connu, se retrouve partout dans l'art... pour peu qu'on veuille bien l'y chercher et faire fi (!) de quelques approximations ou unités de mesure anachroniques. Essayons de retrouver les écrits qui l'ont rattaché à l'architecture et fait connaître du public.