Quand la somme égale le produit : défi mathémati… | Tangente

Dans l’ensemble ℕ des nombres entiers naturels, l’équation ab = a + b ne possède que deux solutions : 0 + 0 = 0 × 0 = 0 et 2 + 2 = 2 × 2 = 4.

L’équation a + b + c = abc, quant à elle, n’en possède qu’une seule non triviale : 6 = 3 + 2 + 1 = 3 × 2 × 1.

Par ailleurs, tout nombre entier non premier supérieur ou égal à 6 peut être écrit sous ces deux formes égales suivantes, à condition d’utiliser suffisamment de termes (ou de facteurs) égaux à 1 ; par exemple :

8 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 2 × 2 × 2 × 1 ;

24 = 4 + 3 + 2 + 1 + 1 +… + 1 = 4 × 3 × 2 × 1 (avec quinze « 1 ») ;

2 024 = 23 + 11 + 8 + 1 + 1 +… + 1 = 23 × 11 × 8 × 1 (avec mille neuf cent quatre-vingt-deux « 1 »).

Le problème suivant a été étudié en 1907 par le mathématicien allemand Adolf Hurwitz : quelles sont les solutions dans ℕ des équations du type x₁² + x₂² +… + x_n² = k × x₁ × x₂ ×… × x_n, en dehors des solutions triviales où x₁ = x₂ =… = x_n = 0, et x₁ = x₂ =… = x_n = 1 avec k = n ?

Listons quelques exemples où k = 1 pour de petites valeurs :

16 = 2² + 2² + 2² + 2² = 2 × 2 × 2 × 2 ;

24 = 3² + 2² + 2² + 2² + 1² + 1² + 1² = 3 × 2 × 2 × 2 × 1 × 1 × 1 ;

27 = 3² + 3² + 3² = 3 × 3 × 3 ;

36 = 4² + 3² + 3² + 1² + 1² = 4 × 3 × 3 × 1 × 1.

D’autres solutions existent avec une valeur de k supérieure à 1 :

8 = 2² + 1² + 1² + 1² + 1² = 4 (2 × 1 × 1 × 1 × 1 ) ;

10 = 2² + 1² + 1² + 1² + 1² + 1² + 1² = 5 (2 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1) ;

12 = 2² + 2² + 1² + 1² + 1² + 1² = 3 (2 × 2 × 1 × 1 × 1 × 1).

Le mathématicien américain Norman Herzberg reprit cette exploration dans un article de 1972.

S désigne la somme des carrés des x_i ; les solutions triviales apparaissent en bleu.

Curieusement, il existe des valeurs de n pour lesquelles les seules solutions sont triviales : 12, 24, 32, 48, 60, 108, 240, 384, 480, 608, 972, 984, 1 020, 2 688. Elles sont toutes congrues à 0 ou à 8 modulo 12. On n’en connaît pas d’autres jusqu’à 10⁸, et on conjecture que ce sont les seules.