Los problemas reales muy rara vez se traducen en ecuaciones que admitan soluciones de las que pueda proponerse una forma algebraica sencilla y calculable directamente. Por lo general, es indispensable recurrir a métodos de cálculo aproximado. Resulta bastante curioso que el teorema de Rolle, o su principal corolario, el teorema del valor medio, permitan establecer métodos de aproximaciones sucesivas que convergen hacia la solución de ciertos problemas reales, al tiempo que proporcionan una buena idea del nivel de error que afecta a la solución aproximada.
Aprovechar las relaciones de recurrencia -------------------------------------
Situémonos en el caso en que haya que resolver numéricamente una ecuación del tipo f(x) = 0, e imaginemos que es posible transformarla en una ecuación equivalente del tipo x=ϕ(x)x =\phi(x). Partiendo de un valor inicial arbitrario x0, podemos construir una sucesión de valores *(xk) utilizando la relación de recurrencia xk+1=ϕ(xk)x_{k+1} = \phi(x_k). Cuando la sucesión así construida converge, necesariamente lo hace hacia la solución de la ecuación inicial f(x) = 0. Una condición suficiente para la convergencia se deduce del teorema de Rolle. En efecto, la sucesión de valores convergerá si el límite (para k tendiendo a infinito) de las diferencias sucesivas |xk – xk*–1| tiende uniformemente a 0. Ahora bien, el teorema del valor medio nos permite afirmar que existe un punto x~\tilde x comprendido entre xk–1 y xk tal que
ϕ′(x~)=ϕ(xk)−ϕ(xk−1)xk−xk−1\phi'(\tilde x)=\frac{\phi(x_k)-\phi(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}
De ello se deduce: