I problemi reali si traducono assai raramente in equazioni che ammettono soluzioni esprimibili in una forma algebrica semplice e calcolabile direttamente. Il ricorso a metodi di calcolo approssimato è il più delle volte indispensabile. Piuttosto curiosamente, il teorema di Rolle o il suo principale corollario, il teorema degli incrementi finiti, consentono di mettere a punto metodi di approssimazioni successive che convergono verso la soluzione di alcuni problemi reali, fornendo al tempo stesso una buona stima dell’errore che grava sulla soluzione approssimata.
Sfruttare le relazioni di ricorrenza -------------------------------------
Poniamoci nella situazione in cui occorre risolvere numericamente un’equazione del tipo f(x) = 0 e supponiamo che sia possibile trasformarla in un’equazione equivalente del tipo x=ϕ(x)x =\phi(x). A partire da un valore iniziale arbitrario x0, si può costruire una successione di valori *(xk) usando la relazione di ricorrenza xk+1=ϕ(xk)x_{k+1} = \phi(x_k). Quando la successione così costruita converge, converge necessariamente verso la soluzione dell’equazione iniziale f(x) = 0. Una condizione sufficiente di convergenza discende dal teorema di Rolle. Infatti, la successione di valori converge se il limite (per k tendente all’infinito) delle differenze successive |xk – xk*–1| tende uniformemente a 0. Ora, il teorema degli incrementi finiti ci permette di affermare che esiste un punto x~\tilde x compreso tra xk–1 e xk tale che
ϕ′(x~)=ϕ(xk)−ϕ(xk−1)xk−xk−1\phi'(\tilde x)=\frac{\phi(x_k)-\phi(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}
Da cui: