Una estrategia para mover la dama

El ajedrez es un juego extremadamente sutil, tanto por el enfrentamiento estratégico entre los dos jugadores como por el análisis matemático de las partidas posibles. Sin embargo, es posible practicar, con el mismo material, una variante más elemental, accesible incluso para los principiantes y que no deja de tener su interés.

Para preparar la partida: tomad un tablero de ajedrez —podéis usar uno más grande— y orientadlo; es decir, poneos de acuerdo con vuestro adversario para distinguir la izquierda de la derecha y la parte inferior de la superior (véase nuestro dosier «La orientación», Tangente 206, 2022). Colocad después una dama en una casilla; ¡la partida puede comenzar!

Hay dos reglas: los jugadores desplazan la dama por turnos tantas casillas como quieran, pero solo hacia la izquierda, hacia abajo o en diagonal hacia abajo a la izquierda; pierde el jugador que ya no puede desplazar la pieza (es decir, si le toca jugar y la pieza ya está en la esquina inferior izquierda).

Este juego es más fácil que el ajedrez, pero puede proporcionar algunas satisfacciones y despertar la curiosidad tanto de los jugadores como de los matemáticos. Os animamos a probarlo antes de seguir leyendo.

Posiciones ganadoras y perdedoras ----------------------------------------------

Para analizar el juego, observemos primero que, si la dama está inicialmente en la esquina inferior izquierda, el primer jugador no puede moverla respetando la regla y, por tanto, ha perdido; en cambio, si la dama se encuentra en cualquier otra casilla de la primera columna, de la primera fila o de la diagonal, el primer jugador dispone de una estrategia ganadora evidente: desplaza la dama hasta el final de esa fila/columna/diagonal, hacia la esquina inferior izquierda, para bloquear definitivamente a su adversario.

####

(cruz roja: posición perdedora; círculo verde: posición ganadora).

Imaginemos ahora que la dama está inicialmente en la tercera columna (contando desde la izquierda) y la segunda fila (contando desde abajo), posición que denotamos por (3, 2). El jugador puede moverla:

• hacia la izquierda: a las posiciones (2, 2), desplazamiento de una casilla, o (1, 2), desplazamiento de dos casillas;

• hacia abajo: a la posición (3, 1);

• en diagonal: a la posición (2, 1).

No puede llevar inmediatamente la dama a la esquina inferior izquierda y, sea cual sea el movimiento que elija, esta se encuentra ahora en la primera fila, en la primera columna o en la diagonal que parte de la esquina inferior izquierda. Por tanto, el segundo jugador podrá llevarla sin dificultad a la esquina inferior izquierda y ganar la partida. Esta posición (3, 2) es, pues, perdedora para el primer jugador si su adversario juega bien: haga lo que haga, el segundo jugador dispone de una estrategia ganadora. Podéis continuar el análisis a mano y comprobar, por ejemplo, que la posición (6, 4) también es perdedora para el jugador que inicia la partida.

A estas alturas, hemos visto que existen dos tipos de posiciones: aquellas en las que el primer jugador dispone con certeza de una estrategia ganadora y aquellas en las que su posición es perdedora. El objetivo consiste, por tanto, en clasificar todas las posiciones según este criterio. Más precisamente, una casilla es perdedora si es la esquina inferior izquierda o si todos los movimientos desde ella llevan al adversario a una posición ganadora; una casilla es ganadora si existe un movimiento que lleva al adversario a una posición perdedora. Esta definición es delicada por su estructura recursiva: si se lee demasiado deprisa, parece que no es correcta y que «entra en un bucle». No es así: permite determinar progresivamente —y, hay que admitirlo, laboriosamente— el estado de todas las casillas del tablero. Colocamos una cruz roja en las posiciones perdedoras (al principio, solo la esquina inferior izquierda); después, círculos verdes en todas las casillas que permiten llegar a una cruz roja; luego, una cruz roja en las casillas que solo conducen a círculos verdes, y así sucesivamente. Tras algunas etapas, obtenemos el resultado de la figura de abajo.

De forma totalmente lógica, nunca hay dos posiciones perdedoras en la misma fila, columna o «diagonal». ¡Demostrar esta propiedad es un bonito ejercicio para familiarizarse con la definición!

La generalización de Sprague y Grundy --------------------------------------

Volvamos al juego una vez obtenido este diagrama y expliquemos una «buena» manera de jugar partiendo de una casilla marcada con un círculo verde; la estrategia ganadora consiste en mover la dama a una casilla marcada con una cruz roja (siempre es posible según la definición). Después, vuestro adversario, si no ha perdido ya, llevará necesariamente la dama de nuevo a un círculo verde: ¡también en este caso su elección viene impuesta por la definición! Si continuáis así, jugaréis siempre desde un círculo verde y vuestro adversario desde una cruz roja. Como la posición de bloqueo (la esquina inferior izquierda) está marcada con una cruz roja, solo vuestro adversario podrá encontrarse en ella y no podéis perder. Basta observar que necesariamente habrá un perdedor —con estas reglas es imposible que haya tablas o que una partida sea infinita— para concluir que vais a ganar.

Esta manera de analizar los juegos, de distinguir y determinar progresivamente las configuraciones «ganadoras» y «perdedoras», no es exclusiva de este juego. En los años 1930, el alemán Roland Percival Sprague (1894‒1967) y el británico Patrick Michael Grundy (1917‒1959) la extendieron a otros juegos que cumplen algunas hipótesis sencillas: los dos jugadores, que juegan por turnos, no pueden hacer tablas ni prolongar una partida indefinidamente, y existe una forma de «imparcialidad» entre ellos (en el sentido de que, si ambos jugadores se encontraran en la misma configuración de juego, tendrían las mismas jugadas posibles).

Este marco teórico excluye muchas distracciones de nuestra vida cotidiana, como el ajedrez o el go; en cambio, incluye otras, como el juego de las cerillas (o juego de Nim), el Sprouts (o juego de los brotes) o incluso Resta un cuadrado, que divierte a algunos matemáticos: partiendo de un número entero, los jugadores restan por turnos el cuadrado de un número entero. Por ejemplo, se puede pasar de 37 a:

36 = 37 – 1²; 33 = 37 – 2²;

28 = 37 – 3²; 21 = 37 – 4²;

12 = 37 – 5²; 1 = 37 – 6².

Pierde quien llega a 0.

Sin embargo, el juego de la dama sobre el tablero encierra un pequeño extra matemático: el conjunto de posiciones ganadoras no solo queda determinado por el método de Sprague-Grundy (indicado más arriba), sino que también queda completamente descrito por una fórmula matemática explícita.

El matemático neerlandés Willem Abraham Wythoff (1865‒1939) obtuvo ya en 1907 las coordenadas de todas las posiciones perdedoras y, pequeña sorpresa, estas se expresan sencillamente a partir del número áureo $\phi ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\backslash varphi=\; \backslash dfrac\{1+\; \backslash sqrt\{5\}\}\; \{2\}$ (véase nuestro dosier en Tangente 203, 2022) y de un parámetro entero: para cada valor del parámetro se obtiene una posición perdedora, y cada posición perdedora corresponde a un valor del parámetro. ¡Siempre resulta asombroso ver aparecer así las matemáticas tras una situación anodina!