Una strategia per muovere la regina

Gli scacchi sono un gioco estremamente sottile, sia per lo scontro strategico tra i due giocatori sia per l’analisi matematica delle partite possibili. Esiste però una variante più elementare, accessibile anche ai neofiti e che, pur usando lo stesso materiale, conserva un certo interesse.

Per preparare la partita: prendete una scacchiera (potete usarne una più grande) e orientatela, cioè accordatevi con l’avversario per distinguere la sinistra dalla destra e il basso dall’alto (vedi il nostro dossier «L’orientamento», Tangente 206, 2022). Poi collocate una regina su una casella: la partita può iniziare!

Le regole sono due: i giocatori muovono la regina a turno, del numero di caselle che desiderano, ma soltanto verso sinistra, verso il basso oppure in diagonale verso il basso a sinistra; perde il giocatore che non può più muovere il pezzo (cioè quando tocca a lui giocare e il pezzo si trova già nell’angolo in basso a sinistra).

Questo gioco è più facile degli scacchi, ma può comunque dare qualche soddisfazione e stuzzicare la curiosità tanto dei giocatori quanto dei matematici. Vi invitiamo a provarlo prima di proseguire la lettura.

Posizioni vincenti e posizioni perdenti ----------------------------------------------

Per analizzare il gioco, osserviamo anzitutto che se la regina si trova inizialmente nell’angolo in basso a sinistra, il primo giocatore non può muoverla rispettando la regola e ha quindi perso; se invece la regina si trova in qualunque altra casella della prima colonna, della prima riga o della diagonale, il primo giocatore dispone di una strategia vincente evidente: sposta la regina fino in fondo a quella riga/colonna/diagonale, nell’angolo in basso a sinistra, bloccando definitivamente l’avversario.

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(croce rossa: posizione perdente, cerchio verde: posizione vincente).

Immaginiamo ora che la regina si trovi inizialmente sulla terza colonna (partendo da sinistra) e sulla seconda riga (partendo dal basso), posizione che indichiamo con (3, 2). Il giocatore può muoverla:

• verso sinistra: nelle posizioni (2, 2), con uno spostamento di una casella, oppure (1, 2), con uno spostamento di due caselle;

• verso il basso: nella posizione (3, 1);

• in diagonale: nella posizione (2, 1).

Non può portare subito la regina nell’angolo in basso a sinistra e, qualunque spostamento scelga, essa si trova ormai sulla prima riga, sulla prima colonna o sulla diagonale che parte dall’angolo in basso a sinistra. Il secondo giocatore potrà quindi, senza difficoltà, portarla nell’angolo e vincere la partita. La posizione (3, 2) è dunque perdente per il primo giocatore, se l’avversario gioca bene: qualunque cosa faccia, il secondo giocatore dispone di una strategia vincente. Potete proseguire l’analisi a mano e verificare, per esempio, che anche la posizione (6, 4) è perdente per il giocatore che inizia la partita.

A questo punto abbiamo dunque visto che esistono due tipi di posizioni: quelle in cui il primo giocatore dispone certamente di una strategia vincente e quelle in cui la sua posizione è perdente. Si tratta quindi di catalogare tutte le posizioni secondo questo criterio. Più precisamente, una casella è perdente se è l’angolo in basso a sinistra, oppure se tutte le mosse da quella casella portano l’avversario a una posizione vincente; una casella è vincente se esiste una mossa che porta l’avversario a una posizione perdente. Questa definizione è delicata per la sua struttura ricorsiva: a una lettura frettolosa, sembra che non sia corretta e che «si richiami» da sola. Non è così: permette di determinare progressivamente — e, bisogna ammetterlo, faticosamente — lo stato di tutte le caselle della scacchiera. Si pone una croce rossa sulle posizioni perdenti (all’inizio, soltanto l’angolo in basso a sinistra), poi cerchi verdi su tutte le caselle che consentono di raggiungere una croce rossa, quindi una croce rossa sulle caselle che conducono soltanto a cerchi verdi, e così via. Dopo alcuni passaggi si ottiene il risultato della figura qui sotto.

Del tutto logicamente, non vi sono mai due posizioni perdenti sulla stessa riga, nella stessa colonna o sulla stessa «diagonale». Dimostrare questa proprietà è un bell’esercizio per impadronirsi della definizione!

La generalizzazione di Sprague e Grundy --------------------------------------

Torniamo al gioco dopo aver ottenuto questo diagramma e rendiamo esplicito un «buon» modo di giocare partendo da una casella contrassegnata da un cerchio verde; la strategia vincente consiste nello spostare la regina verso una casella contrassegnata da una croce rossa (secondo la definizione, è sempre possibile). Poi il vostro avversario, se non ha già perso, dovrà necessariamente riportare la regina su un cerchio verde: anche in questo caso la sua scelta è imposta dalla definizione! Proseguendo così, giocherete sempre da una casella contrassegnata da un cerchio verde e il vostro avversario da una casella contrassegnata da una croce rossa. Poiché la posizione di blocco (l’angolo in basso a sinistra) è contrassegnata da una croce rossa, soltanto il vostro avversario potrà trovarvisi e voi non potrete perdere. Basta osservare che ci sarà necessariamente un perdente (con queste regole è impossibile una partita patta o infinita) per concludere che vincerete.

Questo modo di analizzare i giochi, distinguendo e determinando progressivamente le configurazioni «vincenti» e «perdenti», non è proprio soltanto di questo gioco. Fu esteso negli anni Trenta dal tedesco Roland Percival Sprague (1894‒1967) e dal britannico Patrick Michael Grundy (1917‒1959) ad altri giochi che soddisfano alcune semplici ipotesi: i due giocatori, che giocano a turno, non possono pareggiare né proseguire una partita indefinitamente, e vi è una forma di «imparzialità» tra i giocatori (nel senso che, se i due giocatori si trovassero nella stessa configurazione di gioco, avrebbero le stesse possibilità di giocare).

Questo quadro teorico esclude molti passatempi della vita quotidiana, come gli scacchi o il go; ne comprende però altri, come il gioco dei fiammiferi (o gioco del Nim), gli Sprouts (o gioco dei germogli) o persino il sottrai un quadrato, che diverte alcuni matematici: partendo da un numero intero, i giocatori sottraggono a turno il quadrato di un intero. Per esempio, da 37 si può passare a:

36 = 37 – 1² ; 33 = 37 – 2² ;

28 = 37 – 3² ; 21 = 37 – 4² ;

12 = 37 – 5² ; 1 = 37 – 6².

Chi arriva a 0 perde.

Il gioco della regina sulla scacchiera riserva però un piccolo bonus matematico: l’insieme delle posizioni vincenti non è soltanto determinato dal metodo di Sprague‒Grundy (indicato più sopra), ma è anche completamente descritto da una formula matematica esplicita!

Il matematico olandese Willem Abraham Wythoff (1865‒1939) ottenne già nel 1907 le coordinate di tutte le posizioni perdenti e, piccola sorpresa, esse si esprimono semplicemente a partire dal numero aureo $\phi ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\backslash varphi=\; \backslash dfrac\{1+\; \backslash sqrt\{5\}\}\; \{2\}$ (vedi il nostro dossier in Tangente 203, 2022) e da un parametro intero: per ogni valore del parametro si ottiene una posizione perdente e a ogni posizione perdente corrisponde un valore del parametro. È sempre stupefacente vedere emergere così la matematica da una situazione innocua!