ajustement linéaire
Un ajustement linéaire — également appelé ajustement affine ou régression linéaire — consiste à déterminer l'équation de la droite y = ax + b approchant au mieux un nuage de points Mi(xi, yi). La méthode la plus courante est celle des moindres carrés, qui minimise la somme des carrés des résidus :
L'ajustement affine est une technique fondamentale de l'analyse statistique des données, permettant l'interpolation linéaire et la prévision à court terme.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un nuage de points à une droite affine.
- Calculer une pente et une ordonnée à l’origine par les moindres carrés.
- Calculer et interpréter les résidus.
- Reconnaître les situations où une droite ou une extrapolation devient fragile.
En clair
Pendant quatre jours, on mesure la hauteur d’une jeune plante. Les points du graphique montent dans l’ensemble, sans être parfaitement alignés. L’ajustement linéaire trace une droite qui résume cette tendance.
Chaque point conserve un petit écart vertical avec la droite. La méthode des moindres carrés choisit la droite qui rend aussi petite que possible la somme des carrés de ces écarts. La droite obtenue donne ainsi une tendance calculée, et non un trait placé à l’œil.
Définition
Un ajustement linéaire associe une droite à un nuage de n points. Pour le point d’indice i, l’abscisse xi est la valeur explicative et l’ordonnée yi la valeur observée ; le point se note Mi(xi, yi). La droite cherchée a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l’origine b. Son équation est . Au moins deux abscisses doivent être distinctes pour qu’une pente puisse être déterminée.
Pour chaque point, le résidu ei est l’écart vertical signé entre la valeur observée et la valeur donnée par la droite : il est positif si le point est au-dessus de la droite et négatif s’il est au-dessous. Il s’écrit . La méthode des moindres carrés choisit a et b afin de minimiser le critère suivant :
L’ajustement affine et la régression linéaire sont ici deux noms de cette construction. La droite sert à résumer la tendance, à interpoler entre des abscisses observées et à établir une prévision prudente à court terme.
Un exemple, pas à pas
Une jeune plante est mesurée une fois par jour. On cherche la droite qui relie le jour de mesure, noté x, à la hauteur en centimètres, notée y.
Données.
Jour 1 : 2 cm.
Jour 2 : 3 cm.
Jour 3 : 5 cm.
Jour 4 : 5 cm.
Jour 1 : 2 cm.
Jour 2 : 3 cm.
Jour 3 : 5 cm.
Jour 4 : 5 cm.
Étape 1 — Calculer les moyennes. La moyenne des jours est . La hauteur moyenne est .
Étape 2 — Calculer la pente. Pour chaque mesure, on multiplie l’écart du jour à 2,5 par l’écart de la hauteur à 3,75 : les quatre produits sont (−1,5)(−1,75), (−0,5)(−0,75), (0,5)(1,25) et (1,5)(1,25), dont la somme vaut 5,5. Les carrés des écarts des jours sont 2,25, 0,25, 0,25 et 2,25, soit 5 au total. Les écarts aux deux moyennes donnent : . La hauteur ajustée augmente donc de 1,1 cm par jour.
Étape 3 — Calculer l’ordonnée à l’origine. Le coefficient restant vaut . La droite obtenue est .
Étape 4 — Mesurer les écarts. Pour les quatre jours, la droite donne 2,1 cm, 3,2 cm, 4,3 cm et 5,4 cm. Les résidus sont donc −0,1 cm, −0,2 cm, 0,7 cm et −0,4 cm. La somme de leurs carrés vaut 0,70 cm2.
Le résultat est la droite y = 1,1x + 1. Un contrôle de cohérence consiste à additionner les résidus : −0,1 − 0,2 + 0,7 − 0,4 = 0. Une représentation du nuage, de la droite et des écarts verticaux rend ce contrôle visible.
En pratique
Pour résumer une série de mesures, on ajuste une droite puis on observe les résidus. S’ils restent petits et dispersés sans dessin particulier, la tendance linéaire est un résumé utile. S’ils dessinent une courbe, le modèle linéaire peut être inadéquat ; il faut alors examiner d’autres causes possibles et comparer d’autres modèles avant de choisir.
Pour estimer une valeur entre des abscisses mesurées, la droite fournit une interpolation fondée sur l’ensemble du nuage. Si l’objectif est de relier exactement deux mesures voisines, une interpolation linéaire entre ces deux points répond mieux au besoin.
Pour une prévision, on remplace l’abscisse par une valeur proche de la plage observée. Une valeur très éloignée transforme l’opération en extrapolation fragile ; il faut alors recueillir de nouvelles mesures ou choisir un modèle justifié par le phénomène.
À ne pas confondre
Interpolation linéaire. Elle relie deux points connus et passe exactement par eux. L’ajustement linéaire exploite tout un nuage et ne passe généralement pas par chaque point. Entre les jours 2 et 3 de l’exemple, l’interpolation utilise ces deux seules mesures ; l’ajustement utilise les quatre.
Fonction affine donnée exactement. Une équation y = ax + b peut décrire une règle supposée exacte. Dans un ajustement, les coefficients a et b sont estimés à partir de données. Des résidus non nuls signalent immédiatement qu’il s’agit d’un résumé, pas d’une égalité satisfaite par toutes les observations.
Limites et pièges
Abscisses toutes identiques. Si toutes les valeurs xi sont égales à leur moyenne , alors et la pente est indéterminée. Il faut obtenir des mesures pour au moins deux abscisses distinctes.
Point très isolé. Une observation éloignée horizontalement peut faire pivoter fortement la droite. Le symptôme est une pente qui change nettement lorsque ce point est retiré. Il faut vérifier la donnée, présenter l’analyse avec et sans elle, ou employer une méthode robuste.
Courbure possible des résidus. Si les écarts sont successivement positifs, négatifs puis positifs lorsque l’abscisse augmente, ce motif peut être un indice de courbure, mais il ne suffit pas à conclure : il peut apparaître par hasard, surtout avec peu d’observations. Il faut davantage de points et analyser le graphique des résidus ; si un motif courbe persiste, il faut comparer la droite à un modèle non linéaire.
Extrapolation lointaine. La droite de l’exemple est étayée entre les jours 1 et 4. Hors de cet intervalle, rien ne garantit que la plante garde la même croissance. La prévision doit rester proche des observations et être révisée avec de nouvelles mesures.
Pour aller plus loin
Régression linéaire — Cette fiche situe l’ajustement affine dans le vocabulaire statistique et approfondit le lien entre variable explicative et variable observée.
Droite des moindres carrés — Cette fiche approfondit le critère qui détermine les coefficients de la droite.
Nuage de points — Cette fiche aide à lire la répartition des observations avant de choisir un modèle.
résidu — Cette fiche examine l’écart entre une observation et la valeur fournie par le modèle.
interpolation linéaire — Cette fiche distingue une droite ajustée à un nuage d’un segment passant par deux points connus.
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