Angles adjacents
Deux angles sont dits adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Les angles adjacents ne se chevauchent donc pas. Ils partagent un sommet et une demi-droite, mais leurs intérieurs sont disjoints. La somme des mesures de deux angles adjacents est égale à la mesure de la région qu'ils réunissent : dans le cas convexe, c'est l'angle usuel formé par leurs côtés non communs ; au-delà de 180°, cette région est un angle rentrant. Cette notion est utilisée pour décomposer des angles ou démontrer des propriétés de figures géométriques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Vérifier le sommet commun, le côté commun et les intérieurs disjoints.
- Additionner 35° et 55° pour retrouver l'angle droit de 90°.
- Distinguer l'adjacence des relations complémentaires, supplémentaires et opposées par le sommet.
- Éviter les erreurs dues au chevauchement et au choix de la mauvaise ouverture.
En clair
Imaginez trois demi-droites issues d'un même point O, comme trois aiguilles fixées au même pivot. L'ouverture entre la première et la deuxième mesure 35°. Celle entre la deuxième et la troisième mesure 55°.
Ces deux ouvertures se touchent le long de l'aiguille du milieu, sans se recouvrir : elles sont adjacentes. Réunies, elles remplissent un angle droit de 90°.
Définition
Deux angles sont adjacents lorsque trois conditions sont réunies. Ils ont le même sommet, ils possèdent un côté commun et leurs intérieurs ne contiennent aucun point commun. Autrement dit, les deux angles se trouvent de part et d'autre de leur demi-droite commune : ils se touchent sur ce côté, mais ne se chevauchent pas. La seule présence d'un sommet commun ou d'un côté commun ne suffit donc pas.
Dans l'exemple conducteur, les demi-droites OA, OB et OC partent du point O. Les angles notés ∠AOB et ∠BOC ont pour côté commun la demi-droite OB. Leur réunion, qui est ici convexe, est l'angle ∠AOC, formé par les côtés non communs OA et OC. Si la lettre m désigne la mesure d'un angle, l'addition s'écrit . Cette égalité exprime une décomposition géométrique ; elle ne signifie pas que tous les angles adjacents sont complémentaires ou supplémentaires.
Un exemple, pas à pas
Trois demi-droites OA, OB et OC partent de O. Les données sont les suivantes : l'angle ∠AOB mesure 35°, l'angle ∠BOC mesure 55°, la demi-droite OB est leur côté commun et leurs intérieurs sont disjoints. Il faut déterminer la mesure de l'angle ∠AOC.
1. Vérifier l'adjacence. Les deux angles ont le sommet O, partagent le côté OB et se trouvent de part et d'autre de ce côté. Leurs mesures peuvent donc être additionnées.
2. Identifier les côtés extérieurs. Les côtés non communs sont OA et OC. Ils délimitent l'angle recherché ∠AOC.
3. Additionner. La mesure de l'angle réuni vaut .
4. Contrôler. La soustraction redonne chaque donnée : 90° − 35° = 55° et 90° − 55° = 35°.
Le résultat est m(∠AOC) = 90° : les deux angles adjacents forment ici un angle droit. La construction rend aussi visible leur frontière commune et l'absence de chevauchement.
En pratique
Dans une figure, on peut décomposer un angle en traçant une demi-droite intérieure. Avant d'additionner les deux mesures obtenues, on vérifie le sommet commun, le côté commun et l'absence de chevauchement. Si l'une de ces conditions manque, on traite les angles séparément.
Pour retrouver une ouverture manquante, on soustrait la mesure connue de celle de l'angle total. Dans l'exemple, 90° − 35° donne 55°. Cette soustraction convient parce que la demi-droite OB partage réellement l'angle droit en deux angles adjacents.
Dans une démonstration géométrique, l'adjacence justifie le passage de deux mesures locales à celle de leur réunion. Si les deux angles se recouvrent, additionner leurs mesures compterait la zone commune deux fois ; il faut alors choisir une autre décomposition.
À ne pas confondre
Angles complémentaires. Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut 90°, même s'ils sont dessinés loin l'un de l'autre. L'adjacence décrit leur position. Dans l'exemple, les angles de 35° et 55° ont les deux propriétés, mais ce n'est pas toujours le cas.
Angles supplémentaires. Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme vaut 180°. Deux angles adjacents de 120° et 60° sont supplémentaires, tandis que ceux de 35° et 55° ne le sont pas. Le total, et non le côté commun, tranche cette distinction.
Angles opposés par le sommet. Ils apparaissent de part et d'autre du point d'intersection de deux droites et n'ont pas de côté commun. Par exemple, les deux angles placés face à face partagent un sommet, mais ils ne sont pas adjacents.
Limites et pièges
Un sommet commun ne suffit pas. Deux angles peuvent partir de O sans partager de demi-droite. Le symptôme est l'absence d'un côté identique dans leurs noms et dans une représentation graphique. Il faut vérifier séparément les trois conditions avant d'utiliser l'addition.
Un chevauchement invalide l'adjacence. Si les deux angles sont du même côté de leur demi-droite commune, une partie de leurs intérieurs peut se superposer. Leur somme compterait alors cette partie deux fois. Il faut décomposer la figure en régions aux intérieurs disjoints.
La plus petite ouverture n'est pas toujours la réunion. Lorsque la somme franchit 180°, la réunion des deux angles est un angle rentrant. Il faut conserver la région effectivement réunie, au lieu de mesurer automatiquement l'autre ouverture entre les côtés non communs.
Le cas de 0° dépend des conventions. Un angle nul n'a pas d'intérieur visible et peut rendre le mot « côté » ambigu. Dans un exercice élémentaire, il faut vérifier si les angles nuls sont admis avant de qualifier ce cas d'adjacent.
Pour aller plus loin
Angles complémentaires — Précise la condition de somme égale à 90°, indépendante de la position des angles.
Angles supplémentaires — Étudie le total de 180° et le distingue du simple fait d'être côte à côte.
Angles opposés par le sommet — Montre une autre relation entre angles partageant un sommet, mais aucun côté.
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