Argch

Imaginez que le cosinus hyperbolique ch transforme un nombre positif ou nul en une valeur au moins égale à 1. Argch remonte le trajet : à partir de cette valeur, elle retrouve l'unique nombre positif ou nul qui l'a produite. Ainsi, la valeur 5/4 conduit à ln 2. Cette restriction aux nombres positifs ou nuls est indispensable, car ch donne le même résultat pour deux nombres opposés.

Argch, aussi appelée arc cosinus hyperbolique, est la fonction réciproque de la restriction du cosinus hyperbolique ch aux réels positifs ou nuls. Son entrée est un réel noté x, avec x ≥ 1, et sa sortie est l'unique réel positif ou nul dont le cosinus hyperbolique vaut x. Elle envoie donc l'intervalle [1, +∞[ sur [0, +∞[.

Pour tout réel x au moins égal à 1, la valeur s'écrit $\mathrm{Argch}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2-1})\backslash operatorname\{Argch\}(x)=\backslash ln\backslash left(x+\backslash sqrt\{x^2-1\}\backslash right)$, où ln désigne le logarithme népérien et √ la racine carrée positive. Pour x strictement supérieur à 1, sa dérivée est ${\mathrm{Argch}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\backslash operatorname\{Argch\}\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{x^2-1\}\}$.

Sur l'ensemble de tous les réels, ch n'est pas injective : deux nombres opposés ont la même image. Le mot « Argch » désigne donc la branche principale, celle qui choisit toujours la solution positive ou nulle.

On cherche la valeur exacte de Argch au point x = 5/4. Les données sont le nombre 5/4, la formule logarithmique d'Argch et la condition de domaine x ≥ 1. La courbe associée permet aussi de repérer le résultat obtenu.

1. La condition est satisfaite, car 5/4 ≥ 1.
2. Sous la racine, on calcule ${\left(\frac{5}{4}\right)}^2-1=\frac{25}{16}-\frac{16}{16}=\frac{9}{16}\backslash left(\backslash frac\{5\}\{4\}\backslash right)^2-1=\backslash frac\{25\}\{16\}-\backslash frac\{16\}\{16\}=\backslash frac\{9\}\{16\}$.
3. La racine carrée positive de 9/16 vaut 3/4.
4. La quantité dans le logarithme vaut donc 5/4 + 3/4 = 2.

Le résultat exact est $\mathrm{Argch}\left(\frac{5}{4}\right)=\ln 2\backslash operatorname\{Argch\}\backslash left(\backslash frac\{5\}\{4\}\backslash right)=\backslash ln\; 2$, soit environ 0,693. Pour refaire le contrôle, on remplace x par 5/4 dans la formule : la racine redonne 3/4 et l'argument du logarithme redonne exactement 2.

Pour résoudre une équation ch(t) = x avec t positif ou nul, on vérifie d'abord que x ≥ 1, puis on prend t = Argch(x). Si x est inférieur à 1, aucune solution réelle ne peut être obtenue par cette branche.

Sur une calculatrice, la commande Argch donne directement une valeur approchée. La formule avec le logarithme est préférable lorsqu'une valeur exacte se simplifie, comme pour x = 5/4, qui donne ln 2.

Pour étudier une variation ou une pente, la dérivée s'emploie seulement lorsque x est strictement supérieur à 1. Au point frontière x = 1, on utilise la valeur Argch(1) = 0, mais pas la formule de dérivation.

Argch n'est pas l'inverse multiplicatif de ch. Argch défait l'action de ch sur sa branche positive, tandis que 1/ch(x) est le quotient de 1 par une valeur. Par exemple, Argch(5/4) = ln 2, alors que 1/ch(5/4) est un autre calcul.

Argch n'est pas non plus l'arc cosinus usuel. Le critère immédiat est le domaine réel : Argch reçoit des nombres au moins égaux à 1, tandis que l'arc cosinus usuel reçoit des nombres compris entre −1 et 1. Le nombre 5/4 appartient donc au domaine d'Argch, pas à celui de l'arc cosinus réel.

En calcul réel, une entrée x inférieure à 1 est hors domaine. Le terme x² − 1 devient négatif lorsque x est strictement compris entre −1 et 1, et aucune valeur réelle d'Argch n'est définie par la branche décrite ici. Il faut alors changer de cadre plutôt que forcer la formule réelle.

Le seuil x = 1 est admis pour la fonction et donne Argch(1) = 0. En revanche, la dérivée 1/√(x² − 1) n'y est pas définie, car son dénominateur vaut 0. La formule de dérivation s'applique uniquement lorsque x est strictement supérieur à 1.

Sans la restriction aux valeurs positives ou nulles, l'équation ch(t) = x ne sélectionne pas une réponse unique : dès qu'une solution non nulle t existe, son opposé −t donne la même valeur. Argch choisit t ≥ 0 ; elle ne représente pas simultanément les deux solutions.

La notion de fonction réciproque précise pourquoi il faut restreindre le domaine de départ avant de définir une opération qui défait une fonction.

La fiche Hyperboliques (fonctions) replace Argch parmi les fonctions hyperboliques et éclaire la famille à laquelle appartient le cosinus hyperbolique.