Auto-adjoint (endomorphisme)

Imaginez une transformation qui étire le plan suivant deux directions perpendiculaires, sans les mêler. Pour la matrice dont les lignes sont (2, 1) et (1, 2), la diagonale montante est étirée par 3, tandis que la diagonale descendante reste inchangée.

Cette transformation est auto-adjointe. Son action est compatible avec la notion d'angle portée par le produit scalaire : déplacer la transformation d'un côté à l'autre du produit scalaire ne change pas le résultat. Cette symétrie explique l'existence de directions propres perpendiculaires et de facteurs d'étirement réels.

Soit E un espace préhilbertien, c'est-à-dire un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, et soit A un endomorphisme de E admettant un adjoint. L'endomorphisme A est auto-adjoint lorsqu'il est égal à son adjoint A^*. Si u et v désignent deux vecteurs quelconques de E, le critère s'écrit : $⟨Au,v⟩=⟨u,Av⟩\backslash langle\; Au,v\backslash rangle=\backslash langle\; u,Av\backslash rangle$.

Dans une base orthonormée réelle, la matrice de A est symétrique : elle est égale à sa transposée. Dans une base orthonormée complexe, elle est hermitienne : elle est égale à sa transposée conjuguée. La mention d'une base orthonormée est essentielle, car une autre base ne traduit pas nécessairement l'adjoint par une simple transposition ou transposition conjuguée.

En dimension finie, toutes les valeurs propres d'un endomorphisme auto-adjoint sont réelles. Deux vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Le théorème spectral garantit alors une base orthonormée de vecteurs propres : dans cette base, la matrice de A est diagonale. Ces conclusions ne doivent pas être transférées telles quelles à la dimension infinie.

Considérons l'endomorphisme du plan euclidien dont la matrice A, dans la base orthonormée usuelle, a pour lignes (2, 1) et (1, 2). Les données sont donc quatre coefficients réels, avec les deux coefficients hors diagonale égaux.

1. Vérifions l'auto-adjonction. La transposée de A est égale à A, donc l'endomorphisme est auto-adjoint.

2. Cherchons les valeurs propres. Si λ désigne une valeur propre, l'équation caractéristique donne : $\det (A-\lambda I)=(2-\lambda {)}^2-1=(\lambda -1)(\lambda -3)\backslash det(A-\backslash lambda\; I)=(2-\backslash lambda)^2-1=(\backslash lambda-1)(\backslash lambda-3)$. Les valeurs propres sont donc 1 et 3.

3. Pour la valeur propre 3, le vecteur (1, 1) convient. Pour la valeur propre 1, le vecteur (1, −1) convient. Leur produit scalaire vaut 1 − 1 = 0 : les deux directions propres sont orthogonales, comme le montre la figure.

4. Normalisons ces vecteurs. En prenant pour colonnes de Q les vecteurs (1/√2, 1/√2) et (1/√2, −1/√2), on obtient une matrice orthogonale : Le contrôle direct donne A(1, 1) = (3, 3) et A(1, −1) = (1, −1).

Pour reconnaître un endomorphisme auto-adjoint donné par une matrice réelle, on travaille d'abord dans une base orthonormée. On compare alors les coefficients placés de part et d'autre de la diagonale. Si la matrice n'est pas symétrique, ce test exclut l'auto-adjonction dans cette base.

Pour simplifier des calculs répétés avec une matrice symétrique, on cherche une base orthonormée de vecteurs propres. Dans l'exemple, les coordonnées suivant (1, 1) sont multipliées par 3, tandis que celles suivant (1, −1) sont multipliées par 1. La matrice diagonale remplace alors les produits matriciels par deux multiplications indépendantes.

Dans un espace complexe, le bon contrôle compare la matrice à sa transposée conjuguée, et non à sa seule transposée. Ce choix devient décisif dès qu'un coefficient possède une partie imaginaire.

Un endomorphisme normal commute avec son adjoint ; un endomorphisme auto-adjoint lui est égal. Une rotation du plan dont l'angle est différent de 0 et de π modulo 2π commute avec son adjoint mais n'est pas représentée par une matrice symétrique : elle est normale sans être auto-adjointe.

Une matrice symétrique positive impose en plus des valeurs propres positives ou nulles. La matrice diagonale de coefficients −1 et 2 est symétrique, donc auto-adjointe sur le plan euclidien, mais elle n'est pas positive puisque sa première valeur propre vaut −1.

L'adjoint n'est pas l'inverse. L'adjoint est défini par le produit scalaire, tandis que l'inverse annule l'action de l'endomorphisme. Dans l'exemple, A(1, 1) = 3(1, 1), alors que l'inverse envoie (1, 1) sur (1/3, 1/3).

Base non orthonormée. La matrice d'un endomorphisme auto-adjoint peut ne pas paraître symétrique dans une base quelconque. Si les coefficients hors diagonale diffèrent, il faut vérifier le produit scalaire et la matrice de Gram de la base au lieu de conclure immédiatement.

Valeur propre multiple. L'orthogonalité automatique concerne des valeurs propres distinctes. Deux vecteurs propres d'une même valeur propre ne sont pas nécessairement orthogonaux ; il faut choisir une base orthonormée dans l'espace propre.

Dimension infinie. La diagonalisation dans une base orthonormée de vecteurs propres est la conclusion du théorème spectral formulé ici en dimension finie. En dimension infinie, un opérateur auto-adjoint peut ne pas posséder une telle base ; il faut employer la version adaptée du théorème spectral.

Cadre complexe. Une matrice égale à sa transposée n'est pas forcément hermitienne. Il faut aussi conjuguer ses coefficients : l'égalité pertinente est celle avec la transposée conjuguée.

Le Spectral (théorème) précise pourquoi une base orthonormée diagonalise un endomorphisme auto-adjoint en dimension finie.

La fiche valeur propre développe l'équation qui associe à une direction propre son facteur d'étirement.