Direction (d'un espace affine)
Dans un espace affine, la direction est l'espace vectoriel sous-jacent qui lui est associé. Chaque espace affine E est défini à partir d'un espace vectoriel V appelé direction ou espace vectoriel directeur de E : les points de E se déplacent selon les vecteurs de V. La direction d'un sous-espace affine est le sous-espace vectoriel formé par les vecteurs reliant deux points quelconques de ce sous-espace. Cette notion permet de transposer les notions de parallélisme et de translation au cadre affine.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’espace vectoriel directeur associé à un espace affine.
- Déterminer la direction d’une droite à partir de deux points.
- Distinguer direction, vecteur directeur et sens.
- Reconnaître les cas du point isolé, du vecteur nul et des paramétrages équivalents.
En clair
Imaginez une feuille sans point choisi comme origine. On peut y placer des points, tracer des droites et déplacer toute figure d’un même pas. L’ensemble de ces déplacements possibles forme la direction de la feuille.
Une droite affine ne conserve qu’une famille de déplacements : ceux qui suivent son axe, dans un sens ou dans l’autre. Deux droites parallèles ont ainsi la même direction, même si elles ne passent pas par les mêmes points.
Définition
Un espace affine E est associé à un espace vectoriel V. Cet espace V, appelé direction ou espace vectoriel directeur de E, décrit tous les déplacements autorisés entre les points de E. Pour un point A de E et un vecteur v de V, la translation de A par v donne un unique point de E. Réciproquement, deux points A et B déterminent un unique vecteur, noté .
Si F est un sous-espace affine non vide de E, sa direction est l’ensemble des vecteurs reliant deux points de F. En notant Dir(F) cette direction, on écrit :
Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de V. Le choix d’un point A de F permet aussi d’écrire F comme l’ensemble des points obtenus en ajoutant à A les vecteurs de Dir(F). Ainsi, F ne dépend pas du point A choisi dans F : seul le point de référence de cette représentation change, tandis que sa direction reste Dir(F).
De quoi c'est fait
Quatre éléments travaillent ensemble. Les points appartiennent à l’espace affine E. Les vecteurs appartiennent à l’espace directeur V. La translation associe à un point et à un vecteur un nouveau point. Le vecteur entre deux points mesure le déplacement qui conduit du premier au second.
Ces relations sont réciproques : un point et un vecteur déterminent un point d’arrivée unique ; deux points déterminent un vecteur unique. Pour un sous-espace affine F, tous les vecteurs entre ses points forment Dir(F). Un point de F et ce sous-espace vectoriel suffisent alors à reconstruire F. Le point fixe sa position ; Dir(F) fixe ses déplacements internes, indépendamment du tracé, de l’échelle ou d’un sens privilégié.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan affine, prenons les points A de coordonnées (1 ; 2), B de coordonnées (4 ; 6) et C de coordonnées (2 ; 1). Nous cherchons la direction de la droite passant par A et B, puis la droite parallèle passant par C.
1. Le vecteur allant de A à B s’obtient en soustrayant les coordonnées de A à celles de B : .
2. La direction de la droite (AB) est la droite vectorielle engendrée par le vecteur (3 ; 4), c’est-à-dire l’ensemble de ses multiples.
3. La droite de même direction passant par C contient les points obtenus en ajoutant à C un multiple réel du vecteur (3 ; 4). En notant t ce nombre réel, ses points ont pour coordonnées .
4. Pour t = 2, on obtient le point D de coordonnées (8 ; 9). Le contrôle est direct : le vecteur allant de C à D vaut (6 ; 8), soit deux fois (3 ; 4). Les droites (AB) et (CD) ont donc bien la même direction.
La figure met en regard les deux droites distinctes et les déplacements proportionnels qui certifient leur parallélisme.
En pratique
Pour construire une parallèle à une droite par un point extérieur, on conserve un vecteur directeur de la première droite et l’on change seulement le point de passage. Une droite sécante est au contraire choisie lorsque sa direction doit être différente.
Pour lire une équation paramétrique, on sépare le point fixe des coefficients du paramètre. Ces coefficients engendrent la direction. Une équation cartésienne est souvent préférée lorsque l’on veut tester rapidement si un point appartient au sous-espace.
Pour comparer deux sous-espaces affines de même dimension, on compare d’abord leurs directions. Si elles coïncident, les sous-espaces sont parallèles ou confondus ; il faut ensuite tester un point pour trancher. Si elles diffèrent, les sous-espaces ne sont pas parallèles selon cette convention d’égalité des directions.
À ne pas confondre
Direction et vecteur directeur. La direction d’une droite est une droite vectorielle entière ; un vecteur directeur est un vecteur non nul choisi dans cette droite. Les vecteurs (3 ; 4) et (6 ; 8) sont différents, mais ils décrivent la même direction.
Direction et sens. Une direction ne privilégie pas un sens de parcours. Les vecteurs (3 ; 4) et (−3 ; −4) pointent en sens opposés, tout en appartenant à la même direction.
Sous-espace affine et sous-espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel contient le vecteur nul et sert lui-même de direction. Un sous-espace affine peut être décalé : la droite passant par C et D ne contient pas nécessairement l’origine, mais sa direction est la droite vectorielle engendrée par (3 ; 4).
Limites et pièges
Un point isolé. Un sous-espace affine réduit à un point a pour direction le sous-espace nul {0}. Aucun vecteur non nul ne peut alors servir de vecteur directeur.
L’ensemble vide. La définition par les vecteurs entre deux points suppose un sous-espace affine non vide. Si aucun point n’est disponible, on ne choisit pas artificiellement une direction ; on vérifie d’abord la convention adoptée pour les sous-espaces affines.
Des paramétrages différents. Multiplier un vecteur directeur par un réel non nul ne change pas la direction. En revanche, le remplacer par le vecteur nul fait disparaître la droite paramétrée : le paramètre ne produit alors plus aucun déplacement.
Même dimension, directions distinctes. Deux droites du plan ont toutes deux une direction de dimension 1, sans être forcément parallèles. Il faut comparer les sous-espaces vectoriels eux-mêmes, et non leur seule dimension.
Pour aller plus loin
L’espace affine replace la direction dans la structure complète qui relie points, vecteurs et translations.
L’espace vectoriel précise les opérations dont hérite l’espace directeur.
La translation montre comment un vecteur de la direction agit concrètement sur chaque point.
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