dissection de Perigal

Imaginez trois carrés construits sur les côtés d’un triangle rectangle de longueurs 3, 4 et 5. Le carré de côté 4 est découpé en quatre pièces identiques. Sans les déformer, on place ces pièces dans les quatre coins du carré de côté 5. Elles entourent alors exactement un carré central de côté 3.

Le grand carré contient donc le petit carré entier et les quatre morceaux de l’autre carré. Cette égalité visible des surfaces traduit le théorème de Pythagore.

La dissection de Perigal est une preuve géométrique du théorème de Pythagore attribuée au mathématicien anglais Henry Perigal (1801–1898). Elle s’applique à un triangle ABC rectangle en A. On note a et b les longueurs des deux côtés de l’angle droit, et c la longueur de l’hypoténuse. Un carré est construit extérieurement sur chacun de ces trois côtés.

Dans le carré de côté b, deux droites passent par le centre : l’une est parallèle à l’hypoténuse, l’autre lui est perpendiculaire. Elles partagent ce carré en quatre quadrilatères congruents, c’est-à-dire superposables par un déplacement rigide. Les quatre pièces peuvent être placées dans les angles du carré de côté c. La région qu’elles ne couvrent pas est un carré de côté a. Comme le découpage et le déplacement conservent les aires, le carré de côté c a la même aire que les deux carrés de côtés a et b réunis.

Avec ces notations, l’identité obtenue est :
La construction décrite choisit le carré de côté b comme carré découpé ; échanger les noms a et b ne change pas l’identité, mais change le carré sur lequel les traits doivent être reproduits.

Prenons un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm, et dont l’hypoténuse mesure 5 cm.
Données :
• côté a : 3 cm ;
• côté b : 4 cm ;
• hypoténuse c : 5 cm ;
• le carré de côté 4 cm est partagé en quatre quadrilatères congruents.

1. L’aire du carré construit sur l’hypoténuse vaut 5² = 25 cm².
2. L’aire du carré central, de côté 3 cm, vaut 3² = 9 cm².
3. L’aire totale des quatre pièces vaut celle du carré découpé : 4² = 16 cm².
4. Après déplacement des quatre pièces, le carré de côté 5 cm contient donc 9 + 16 = 25 cm².

Le contrôle consiste à comparer les deux décompositions : 25 cm² d’un côté, et 9 cm² + 16 cm² de l’autre. Les valeurs coïncident exactement, sans trou, chevauchement ni changement d’échelle.

Avec du papier quadrillé, on peut tracer le carré de côté 4, marquer son centre, puis effectuer les deux coupes indiquées. Le réassemblage dans un carré de côté 5 rend l’égalité des aires manipulable.

Pour vérifier un dessin, on contrôle que les deux traits de coupe passent par le centre, que l’un est parallèle à l’hypoténuse et que l’autre lui est perpendiculaire. Si un seul de ces critères manque, les quatre pièces ne sont plus celles de Perigal.

Si le but est seulement de calculer une longueur, l’écriture algébrique du théorème est plus directe. La dissection devient préférable quand on veut voir pourquoi les aires s’additionnent ou présenter une preuve sans déplacer les termes d’une équation.

Le théorème de Pythagore. Le théorème est l’énoncé qui relie les trois côtés d’un triangle rectangle ; la dissection de Perigal est une manière particulière de le démontrer. Un calcul reliant directement leurs trois longueurs applique le théorème sans réaliser la dissection.

Un puzzle de dissection. Un puzzle peut chercher à transformer une forme en une autre. Ici, le critère décisif est mathématique : les quatre pièces du carré de côté b et le carré de côté a doivent recomposer exactement le carré de côté c, ce qui prouve une égalité d’aires.

Triangle non rectangle. Si le triangle n’a pas d’angle droit, l’espace central et les quatre pièces ne justifient pas l’identité de Pythagore. Il faut alors employer une relation adaptée à l’angle considéré, et non forcer ce découpage.

Mauvaise identification de l’hypoténuse. Le côté c est obligatoirement celui qui fait face à l’angle droit. Construire le carré cible sur un autre côté inverse le rôle des aires et empêche le réassemblage annoncé.

Déplacement non rigide. Une pièce peut être tournée, translatée ou retournée, mais ni étirée ni réduite. Un dessin qui paraît rempli tout en changeant l’échelle, en créant un chevauchement ou en laissant une fente ne constitue pas une preuve par dissection.

Cas dégénéré. À la valeur charnière où un côté de l’angle droit vaut 0, les trois sommets ne forment plus un triangle rectangle ordinaire et le carré central disparaît. La relation d’aires subsiste formellement, mais la construction géométrique doit être présentée comme une limite, pas comme un triangle.

théorème de Pythagore — Pour replacer la dissection dans l’énoncé général et retrouver la relation entre les trois côtés d’un triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! — Pour prolonger la preuve visuelle par l’histoire plus ancienne de la relation attribuée à Pythagore.