espace vectoriel compact

Imaginez un espace où l’on peut additionner des flèches et les multiplier par des nombres. La compacité signifie qu’un espace ne peut pas s’étendre indéfiniment : toute collection d’ouvertures qui le recouvre permet d’en retenir un nombre fini. Dans ℝ ou ℂ, un espace vectoriel tout entier reste compact seulement s’il ne contient que le vecteur nul. En revanche, une boule fermée comme un disque plein peut être compacte sans être un espace vectoriel, car l’addition de deux points peut sortir du disque.

Un espace vectoriel est un ensemble E muni d’une addition et d’une multiplication par les éléments d’un corps K. Lorsque E a une dimension finie n, sa structure usuelle de dimension finie lui donne une topologie canonique : elle est, à changement de coordonnées continu près, la topologie produit sur Kⁿ. Ici, n désigne le nombre de vecteurs d’une base de E.

La compacité est la propriété selon laquelle tout recouvrement par des ouverts possède un sous-recouvrement fini. Pour un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, l’espace E lui-même est compact si et seulement si n = 0 : il se réduit alors au vecteur nul. Si n ≥ 1, E est non borné et donc non compact. En dimension finie, toutes les normes usuelles sont équivalentes ; elles définissent donc la même topologie, même si elles mesurent les longueurs différemment.

Il faut distinguer l’espace vectoriel entier de ses parties. Dans ℝⁿ, une boule fermée est compacte, mais elle n’est généralement pas un sous-espace vectoriel. En dimension infinie, la compacité de l’espace entier reste très restrictive, tandis que des parties particulières, notamment certaines boules dans des topologies plus faibles, peuvent être compactes et intervenir dans des théorèmes de point fixe ou des méthodes variationnelles.

Quatre éléments organisent la notion. Le corps K fournit les scalaires, c’est-à-dire les nombres qui multiplient les vecteurs. L’espace E contient les vecteurs et possède une base de n éléments lorsque sa dimension est n. La topologie décrit quelles suites de vecteurs se rapprochent et quels ensembles sont ouverts. Enfin, la compacité impose qu’un recouvrement ouvert puisse être réduit à un nombre fini d’ouverts.

La base relie la dimension à la représentation de E comme Kⁿ, tandis que la topologie relie cette représentation aux notions de convergence et de voisinage. Les normes fournissent des distances, mais leur équivalence en dimension finie garantit qu’elles ne changent pas la topologie. Ces données suffisent à décider si l’espace entier est compact dans le cadre réel ou complexe : la dimension nulle donne le cas compact, et toute dimension n ≥ 1 donne un espace non compact.

Considérons E = ℝ² muni de sa topologie usuelle. On examine le disque fermé D de centre (0, 0) et de rayon 1, puis l’espace E tout entier. Les données sont les suivantes : la dimension vaut 2 ; le disque vérifie x² + y² ≤ 1 ; l’espace contient les points (t, 0) pour tout réel t.

Pour le disque, toute suite de points reste bornée et le disque est fermé dans ℝ² ; le théorème de Heine-Borel le rend compact. Pour l’espace entier, la droite t ↦ (t, 0) contient les points (m, 0) pour tout entier m. Ces points s’éloignent sans borne lorsque m augmente.

Le disque n’est pourtant pas un espace vectoriel : (1, 0) et (1, 0) appartiennent à D, mais leur somme (2, 0) n’y appartient pas. Le verdict est donc que D est une partie compacte de ℝ², tandis que ℝ², espace vectoriel de dimension 2, n’est pas compact.

Le contrôle se refait directement : 1² + 0² = 1, donc (1, 0) est sur le bord de D, alors que 2² + 0² = 4 > 1, donc (2, 0) est hors de D.

En analyse réelle, on vérifie d’abord si l’on étudie l’espace vectoriel entier ou une partie de celui-ci. Pour une partie de ℝⁿ, le critère fermé et borné est efficace ; il permet notamment de reconnaître un disque fermé compact.

Pour comparer des normes en dimension finie, on peut choisir la norme la plus commode pour le calcul. Le résultat topologique ne dépend pas de ce choix, car toutes les normes sont équivalentes.

En dimension infinie, le critère fermé et borné n’est plus une règle générale. On recherche alors une partie compacte dans une topologie adaptée, lorsque l’existence d’un point fixe ou d’un minimiseur est en jeu.

Un espace vectoriel compact n’est pas la même chose qu’une partie compacte d’un espace vectoriel. Le critère testable est la stabilité par addition et par multiplication scalaire : le disque fermé D est compact, mais deux de ses points peuvent avoir une somme extérieure à D.

La compacité ne se confond pas non plus avec la bornitude. Dans ℝ², le disque fermé est à la fois fermé et borné, tandis que ℝ² est non borné. En dimension finie, la bornitude intervient dans le critère des parties compactes ; elle ne suffit pas à rendre compact l’espace vectoriel entier.

Le cas charnière est n = 0. L’espace ne contient alors que le vecteur nul et il est compact. Dès que n ≥ 1 sur ℝ ou ℂ, l’espace vectoriel entier contient une droite non bornée ; il n’est donc pas compact.

Un piège fréquent consiste à appliquer la conclusion à une boule fermée. Dans ℝⁿ, cette boule est compacte lorsque son rayon est fini, mais elle n’est pas un espace vectoriel sauf dans le cas dégénéré où elle se réduit au vecteur nul. Il faut donc identifier précisément l’ensemble soumis au test.

En dimension infinie, une partie peut être compacte pour une topologie particulière sans que l’espace entier le soit. La conclusion dépend alors de la topologie choisie et de la partie considérée ; elle ne se déduit pas de la seule dimension.

Le prolongement naturel consiste à étudier la compacité des parties d’un espace vectoriel topologique plutôt que celle de l’espace entier. Cette perspective permet de comprendre pourquoi des ensembles fermés et bornés jouent un rôle central en dimension finie, tandis que les espaces de dimension infinie demandent des topologies et des théorèmes spécifiques.