Ferrari Ludovico

En 1522 naît à Bologne Ludovico Ferrari, qui deviendra l'élève et le proche collaborateur de Cardan. À cette époque, résoudre toutes les équations du quatrième degré reste un obstacle majeur.

L'idée de Ferrari est un changement de difficulté : il transforme le problème en une équation du troisième degré. Une fois celle-ci résolue, l'équation initiale se sépare en deux équations du second degré, dont on sait extraire les solutions par radicaux.

Ludovico Ferrari est un mathématicien italien de la Renaissance, né à Bologne en 1522 et mort en 1560. Élève et proche collaborateur de Cardan, il enseigne à Milan à partir de 1540, puis devient professeur à l'université de Bologne peu avant sa mort à 38 ans.

Son apport majeur est la première méthode générale de résolution des équations du quatrième degré. Après division par le coefficient du terme de degré quatre et suppression du terme cubique par un changement de variable, l'équation prend une forme dite déprimée. Si les lettres p, q et r désignent ses coefficients, elle s'écrit $x^4+p{x}^2+qx+r=0x^4+p\; x^2+q\; x+r=0$.

La méthode introduit alors un nombre auxiliaire choisi pour faire apparaître un carré parfait. La condition imposée à ce nombre est une équation du troisième degré, appelée cubique résolvante. Une de ses solutions permet de factoriser le quartique en deux facteurs quadratiques. Résoudre ces deux équations du second degré donne toutes les racines, réelles ou complexes, de l'équation initiale. Cette réduction systématique ouvre ainsi la résolution par radicaux des équations de degré quatre.

On cherche les racines de l'équation $x^4-4x^2-x+2=0x^4-4x^2-x+2=0$. Les données sont le coefficient −4 devant le carré de l'inconnue, le coefficient −1 devant l'inconnue et la constante 2.

1. On introduit un nombre auxiliaire y et on isole un carré :

2. Pour que le membre de droite soit le carré d'une expression du premier degré, son discriminant doit être nul. On obtient la cubique résolvante :

3. Le nombre $y=-\frac{3}{2}y=-\backslash frac\{3\}\{2\}$ annule cette cubique. Le membre de droite devient alors $x^2+x+\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2}{)}^{2}x^2+x+\backslash frac\{1\}\{4\}=(x+\backslash frac\{1\}\{2\})^2$.

4. L'égalité de deux carrés conduit aux deux équations $x^2-x-2=0x^2-x-2=0$ et $x^2+x-1=0x^2+x-1=0$. Leurs racines sont $2,-1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2}2,-1,\backslash frac\{-1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\},\backslash frac\{-1-\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$. En remplaçant chacune dans le quartique initial, on retrouve exactement zéro.

Pour résoudre symboliquement une équation générale du quatrième degré, la méthode de Ferrari donne une procédure exacte : normaliser l'équation, supprimer le terme cubique, résoudre la cubique auxiliaire, puis traiter deux quadratiques.

Avant d'appliquer cette procédure, il est utile de chercher une factorisation visible ou une forme bicarrée, sans terme de degré impair. Ces voies sont plus courtes lorsqu'elles existent ; Ferrari reste la solution systématique quand aucune simplification immédiate n'apparaît.

Pour un calcul numérique, une approximation directe des racines peut être préférable si seule une valeur décimale est demandée. La formule par radicaux sert surtout lorsque l'on veut une expression exacte ou comprendre la structure algébrique du quartique.

Ludovico Ferrari et Jérôme Cardan. Ferrari est l'auteur de la méthode générale pour le quatrième degré ; Cardan est son maître et proche collaborateur. Le degré de l'équation tranche donc l'attribution visée ici.

Une équation quartique et sa cubique résolvante. La première est l'équation de degré quatre à résoudre ; la seconde est un outil auxiliaire de degré trois. Dans l'exemple, leurs inconnues sont respectivement x et y.

Une solution par radicaux et une approximation numérique. La première exprime exactement les racines avec des opérations et des racines ; la seconde fournit des décimales. Le nombre $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\backslash frac\{-1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$ est exact, tandis que 0,618 n'en est qu'une approximation.

Le coefficient dominant doit être non nul. S'il vaut zéro, l'équation n'est plus du quatrième degré. Il faut alors employer la méthode correspondant à son degré réel.

La cubique ne donne pas directement les racines du quartique. Sa solution fixe le paramètre qui rend possible la factorisation en deux quadratiques. Confondre les deux jeux de racines arrête le calcul avant l'étape décisive.

Des racines multiples peuvent se confondre. Un quartique possède quatre racines en comptant les multiplicités, mais moins de quatre valeurs distinctes. Il faut conserver la multiplicité fournie par les facteurs quadratiques.

Les calculs intermédiaires peuvent quitter les nombres réels. Selon les coefficients et le choix de la racine de la cubique, des radicaux complexes peuvent apparaître, même si certaines racines finales sont réelles. Il faut alors calculer dans les nombres complexes ou choisir une autre racine auxiliaire adaptée.

Le portrait Cardan Jérôme situe le maître et proche collaborateur de Ferrari dans la même aventure algébrique de la Renaissance.

L'article L'apport génial de Galois prolonge la question de la résolution des équations par radicaux au-delà du cas quartique.