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fonction continue

Une fonction réelle f est continue en un point a de son domaine lorsque f(a) est définie et que f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a en restant dans le domaine. Autrement dit, on peut rendre la sortie aussi proche que l’on veut de f(a) en choisissant l’entrée assez proche de a : de petites variations de l’entrée n’entraînent pas de saut de la sortie au point étudié.

Pour ε=1, les entrées à moins de δ=0,2 de 2 donnent, sur la courbe x², des sorties strictement comprises entre 3 et 5.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Relier l’absence intuitive de saut à la limite en un point.
Appliquer le critère ε-δ à la fonction carré en 2.
Distinguer continuité, dérivabilité, continuité uniforme et continuité par morceaux.
Employer correctement les théorèmes des valeurs intermédiaires et des valeurs extrêmes.

En clair

Imaginez que l’entrée d’une machine passe doucement de 1,99 à 2, puis à 2,01. Si la machine calcule le carré, ses sorties restent proches de 4. Une petite variation de l’entrée ne provoque aucun saut de la sortie. C’est l’idée d’une fonction continue en 2.

Cette proximité doit pouvoir devenir aussi exigeante qu’on le souhaite : plus on resserre la marge admise autour de 4, plus on choisit les entrées près de 2.

Définition

Soit une fonction f définie sur un ensemble de nombres réels, et soit a un point de son domaine. La fonction est continue en a lorsque sa valeur f(a) existe et que la limite de f(x), quand la variable x tend vers a dans le domaine, vaut f(a). Autrement dit :

\lim_{x \to a} f(x)=f(a)

. Elle est continue sur son domaine si ce critère est satisfait en chacun de ses points. Aux extrémités du domaine, la limite est prise seulement parmi les valeurs de x qui appartiennent au domaine.

Pour une fonction réelle d’une variable réelle, le critère ε-δ précise cette idée. Pour toute tolérance de sortie ε strictement positive, il doit exister une tolérance d’entrée δ strictement positive telle que

|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon

, pour tout x du domaine. Le nombre δ peut dépendre de ε et du point a.

Dans le cadre plus général d’espaces topologiques, une fonction f de E vers F est continue lorsque l’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E. Cette formulation ne requiert ni distance ni ε et δ. Pour une fonction réelle continue sur un segment fermé [u, v], le théorème des valeurs intermédiaires garantit toutes les valeurs comprises entre f(u) et f(v), tandis que le théorème des valeurs extrêmes garantit un minimum et un maximum atteints.

De quoi c'est fait

Une affirmation de continuité mobilise cinq éléments. Le domaine indique les entrées autorisées ; l’espace d’arrivée indique le cadre des sorties ; la fonction associe une sortie à chaque entrée ; le point a fixe l’endroit étudié ; enfin, la notion de proximité vient d’une distance ou, plus généralement, des ouverts de la topologie.

Le domaine détermine par quel côté x peut approcher a. La fonction relie ensuite la proximité des entrées à celle des sorties. Dans un espace métrique, les distances rendent ce lien mesurable par ε et δ ; dans un espace topologique, les images réciproques d’ouverts l’expriment sans mesure. La couleur, l’échelle et le lissage d’un graphe ne définissent donc jamais la continuité : seules la fonction, ses espaces et leur structure comptent.

Un exemple, pas à pas

Étudions la fonction f définie par f(x)=x² au point a=2. Les données sont la valeur f(2)=4 et une tolérance de sortie ε>0. Il faut construire une tolérance δ qui assure que toute entrée x assez proche de 2 donne une sortie à moins de ε de 4.

1. Factoriser l’écart donne

|f(x)-f(2)|=|x^2-4|=|x-2|\,|x+2|

.
2. Imposer d’abord |x−2|<1 place x entre 1 et 3, donc |x+2|<5.
3. Choisir

\delta=\min\!\left(1,\frac{\varepsilon}{5}\right)

donne alors

|f(x)-4|<5\delta\leq\varepsilon

Ainsi, f est continue en 2. Pour refaire le contrôle avec ε=1, on obtient δ=0,2 : si |x−2|<0,2, alors |x²−4|<1. Le graphe associé montre ce choix précis de marges, sans servir de preuve à lui seul.

En pratique

Pour calculer une limite en un point, on remplace directement x par a lorsque la fonction y est continue. Si la formule n’est pas définie en a ou si les limites latérales diffèrent, cette substitution n’est pas valable : il faut étudier la limite séparément.

Pour prouver qu’une équation f(x)=y possède une solution sur un segment, on compare y aux valeurs prises aux extrémités. Si f est continue et si y se trouve entre ces deux valeurs, le théorème des valeurs intermédiaires donne l’existence d’au moins une solution ; il n’en garantit pas l’unicité.

Pour chercher un minimum ou un maximum global, un segment fermé et borné fournit un cadre décisif : une fonction réelle continue y atteint ses deux extrêmes. Sur un intervalle ouvert ou non borné, il faut contrôler autrement l’existence d’un extremum.

À ne pas confondre

La continuité se distingue de propriétés plus fortes ou construites autrement. Un test portant sur les limites permet de trancher dans chaque cas.

Continuité et dérivabilité

Une fonction dérivable en un point y est continue, mais la réciproque est fausse. La fonction valeur absolue est continue en 0, tandis que ses pentes à gauche et à droite, −1 et 1, empêchent toute dérivée en ce point.

Continuité et continuité uniforme

La continuité en chaque point autorise δ à dépendre du point étudié. La continuité uniforme exige un même δ pour tous les points du domaine. Ainsi, la fonction x↦1/x est continue sur ]0,1[, mais pas uniformément continue : son taux de variation devient arbitrairement grand près de 0.

Continuité et continuité par morceaux

Une fonction continue par morceaux peut comporter des points de discontinuité entre ses morceaux. La fonction qui vaut 0 pour x<0 et 1 pour x≥0 est continue sur chaque côté de 0, mais sa limite à gauche en 0 diffère de sa valeur 1.

Limites et pièges

Plusieurs raccourcis usuels masquent une hypothèse ou changent la portée du résultat.

Le point doit appartenir au domaine

Dire que f est continue en a exige que f(a) soit définie. Pour f(x)=1/x, une limite peut être étudiée lorsque x approche 0, mais la fonction n’est pas continue en 0. On parle éventuellement de prolongement par continuité si une valeur peut y être ajoutée.

Un segment, pas n’importe quel intervalle

Les valeurs extrêmes sont garanties pour une fonction réelle continue sur un intervalle fermé et borné. Sur ]0,1[, la fonction f(x)=x reste bornée, mais n’atteint ni 0 ni 1. Il faut donc vérifier que les deux extrémités appartiennent au domaine.

Le théorème des valeurs intermédiaires n’assure pas l’unicité

Entre deux valeurs f(u) et f(v), chaque niveau intermédiaire est atteint au moins une fois si f est continue sur [u,v]. Un graphe qui recoupe plusieurs fois ce niveau donne plusieurs solutions. Pour conclure à l’unicité, il faut une condition supplémentaire, telle qu’une stricte monotonie.

Une limite de fonctions continues peut perdre la continuité

La suite de fonctions f_n(x)=xⁿ est formée de fonctions continues sur [0,1]. Sa limite point par point vaut 0 sur [0,1[ et 1 en x=1 : elle est discontinue. Une convergence uniforme, plus forte, préserve au contraire la continuité.

Pour aller plus loin

La continuité uniforme montre comment choisir une tolérance d’entrée valable en tout point du domaine.

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