formule des compléments
Formule, également appelée formule de réflexion d'Euler, portant sur la fonction gamma d'Euler Γ. La fonction gamma est définie pour tout complexe z dont la partie réelle est strictement positive par : Γ(z) = ∫(0 à +∞) t^(z−1) e^(−t) dt. Elle prolonge la factorielle aux complexes, au sens où Γ(n+1) = n! pour tout entier n positif. La formule des compléments énonce que pour tout complexe z tel que 0 < Re(z) < 1 : Γ(z) · Γ(1−z) = π / sin(πz). Cette identité relie les valeurs de la fonction gamma en deux points symétriques par rapport à 1/2, et permet notamment de calculer Γ(1/2) = √π ainsi que les valeurs de Γ aux demi-entiers.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire l'identité Γ(z)Γ(1−z) = π/sin(πz) et identifier ses termes.
- Vérifier la condition 0 < Re(z) < 1 et reconnaître les frontières exclues.
- Refaire le calcul de Γ(1/2) = √π et contrôler le choix du signe.
En clair
Prenez un nombre situé entre 0 et 1, puis regardez son complément à 1. Ainsi, 1/4 est associé à 3/4, et 1/2 à lui-même. La formule des compléments relie les valeurs de la fonction gamma prises en ces deux points symétriques.
Au centre, la paire se confond : pour z = 1/2, les deux facteurs sont identiques. L'identité transforme alors leur produit en π, ce qui donne Γ(1/2) = √π. Le schéma de symétrie rend visible ce cas particulier.
Définition
La formule des compléments, ou formule de réflexion d'Euler, est une identité de la fonction gamma d'Euler, notée Γ. Pour un nombre complexe z de partie réelle strictement positive, cette fonction est définie par l'intégrale suivante :
Elle prolonge la factorielle puisque, pour tout entier positif n, Γ(n + 1) = n!.
Lorsque la partie réelle de z est strictement comprise entre 0 et 1, la formule associe z à son complément 1 − z :
Les deux arguments z et 1 − z sont symétriques par rapport à 1/2. L'identité donne leur produit, pas chacune des deux valeurs séparément. Au point fixe z = 1/2, les facteurs deviennent égaux ; la positivité de l'intégrale réelle conduit alors à Γ(1/2) = √π. Cette valeur sert aussi au calcul des valeurs de Γ aux demi-entiers.
Le principe
Soit z un nombre complexe dont la partie réelle, notée Re(z), vérifie 0 < Re(z) < 1. Alors la fonction gamma aux arguments complémentaires z et 1 − z satisfait :
Le membre de gauche est le produit des deux valeurs de Γ. Le membre de droite dépend du sinus de π fois z. L'égalité porte donc sur une paire symétrique autour de 1/2.
Quand l'utiliser
Dans l'énoncé donné ici, z est un nombre complexe et sa partie réelle doit rester strictement entre 0 et 1. Le complément 1 − z appartient alors à la même bande. Ces données suffisent pour obtenir le produit Γ(z)Γ(1 − z), à condition de connaître sin(πz).
Les frontières sont exclues : z = 0 et z = 1 ne vérifient pas la condition stricte, et sin(πz) s'y annule. Il ne faut donc pas leur appliquer directement cette écriture. Pour z = 2, la définition intégrale reste disponible puisque sa partie réelle est positive, et la relation Γ(n + 1) = n! donne Γ(2) = 1!, mais l'hypothèse 0 < Re(z) < 1 n'est pas satisfaite.
Un exemple, pas à pas
On cherche la valeur de la fonction gamma au point réel z = 1/2.
Données : z = 1/2 ; son complément vaut 1 − z = 1/2 ; sin(π/2) = 1.
Données : z = 1/2 ; son complément vaut 1 − z = 1/2 ; sin(π/2) = 1.
1. La condition est vérifiée, car 0 < 1/2 < 1.
2. On remplace z par 1/2 dans la formule : .
3. Le complément de 1/2 est 1/2, donc les deux facteurs sont égaux.
4. Comme sin(π/2) = 1, on obtient .
5. L'intégrale qui définit Γ(1/2) sur les réels positifs est positive ; on retient donc la racine positive.
2. On remplace z par 1/2 dans la formule : .
3. Le complément de 1/2 est 1/2, donc les deux facteurs sont égaux.
4. Comme sin(π/2) = 1, on obtient .
5. L'intégrale qui définit Γ(1/2) sur les réels positifs est positive ; on retient donc la racine positive.
Le résultat est Γ(1/2) = √π. Pour contrôler le calcul, son carré doit redonner π, ce qui est bien le cas : (√π)2 = π.
En pratique
Pour une paire d'arguments complémentaires, la formule fournit directement le produit Γ(z)Γ(1 − z). Elle est pertinente lorsque l'on cherche ce produit plutôt que chacune des deux valeurs isolément.
Au point z = 1/2, la symétrie rend les facteurs identiques. La formule devient alors un calcul de valeur individuelle et donne Γ(1/2) = √π.
Pour les entiers positifs, la relation Γ(n + 1) = n! est plus directe. La formule des compléments apporte surtout le pont symétrique autour de 1/2 et la valeur de départ utile aux demi-entiers.
À ne pas confondre
La formule des compléments et la définition intégrale de Γ. La première relie deux valeurs, Γ(z) et Γ(1 − z), tandis que la seconde définit Γ(z) par une intégrale lorsque Re(z) > 0. Pour z = 1/2, l'identité donne Γ(1/2)2 ; l'intégrale justifie que Γ(1/2) est positive.
La fonction gamma et la factorielle. Elles coïncident selon Γ(n + 1) = n! pour un entier positif n, mais leurs arguments ne s'écrivent pas de la même façon. Ainsi Γ(2) = 1!, et non 2!.
Limites et pièges
Aux frontières 0 et 1. La condition 0 < Re(z) < 1 est stricte. Pour z = 0 ou z = 1, le sinus du dénominateur est nul : l'écriture ne doit pas être utilisée comme une égalité de valeurs finies.
Un produit n'est pas deux résultats. Si z et 1 − z sont distincts, l'identité fixe seulement Γ(z)Γ(1 − z). Sans autre information, elle ne détermine pas séparément les deux facteurs. Le cas z = 1/2 est particulier parce qu'ils coïncident.
Le signe au point médian. De Γ(1/2)2 = π, on pourrait retenir à tort deux signes. La définition intégrale montre que Γ(1/2) est positive ; la valeur correcte est donc √π.
Pour aller plus loin
fonction gamma — Retrouvez la fonction à laquelle s'applique la formule et son lien avec la factorielle.
Prolongement analytique (principe du) — Situez le principe qui étend une fonction au-delà de son domaine initial de définition.
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