Gelfand-Mazur (théorème de)

Imaginez un système de nombres complexes où l’on peut additionner, multiplier, mesurer les distances et diviser par tout élément non nul. On pourrait espérer y trouver de nouveaux nombres. Le théorème de Gelfand-Mazur ferme cette porte : si ce système est complet, chaque élément est déjà un multiple complexe de l’unité.

Ainsi, une algèbre de division complexe qui possède la structure analytique d’une algèbre de Banach n’est pas plus riche que ℂ, même si elle a été présentée sous une autre forme.

Une algèbre de Banach complexe est une algèbre associative munie d’une norme sous-multiplicative, complète pour cette norme. Le théorème de Gelfand-Mazur concerne une telle algèbre A avec une unité, notée 1_A, dans laquelle tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. Cette dernière propriété fait de A une algèbre de division.

La conclusion est que l’application canonique qui envoie un nombre complexe λ sur λ1_A est un isomorphisme d’algèbres de ℂ vers A. Autrement dit, pour chaque élément a de A, il existe un unique nombre complexe λ tel que $a=\lambda 1_{A}a=\backslash lambda\; 1\_A$. La figure donne à voir cette correspondance, notamment pour l’élément 3 + 4i choisi comme fil conducteur.

Ni la dimension de A ni sa commutativité ne sont à supposer : la conclusion les impose. La complétude, la structure complexe, l’unité et l’inversibilité de chaque élément non nul sont en revanche essentielles.

Soit A une algèbre de Banach associative, unitaire et non triviale sur ℂ. Si tout élément non nul de A est inversible, alors A est isomorphe à ℂ par l’application $\lambda \mapsto \lambda 1_A\backslash lambda\backslash mapsto\backslash lambda\; 1\_A$. En particulier, tout élément de A est un unique multiple complexe de l’unité.

Pour le voir, on choisit un élément a de A. La complétude apporte ici le point analytique décisif : elle garantit que son spectre n’est pas vide. Celui-ci contient donc un nombre complexe λ. Alors a − λ1_A n’est pas inversible ; dans une algèbre de division, il doit donc être nul.

Le théorème s’applique lorsque quatre contrôles sont réunis. L’algèbre est définie sur ℂ, elle possède une unité non nulle (1_A ≠ 0) et elle est complète pour une norme compatible avec la multiplication. Enfin, chaque élément autre que zéro doit avoir un inverse dans l’algèbre. Le résultat obtenu est alors un isomorphisme avec ℂ.

L’algèbre des matrices complexes 2 × 2 fournit un contre-cas concret. Elle est unitaire et complète, mais la matrice diagonale de coefficients 1 et 0 est non nulle et non inversible. Gelfand-Mazur ne s’applique donc pas ; pour cette algèbre, il faut étudier les éléments inversibles et les spectres sans attendre une réduction à ℂ.

Pour diagnostiquer une algèbre candidate A, on vérifie d’abord qu’elle est complexe, unitaire et complète, puis que chacun de ses éléments non nuls est inversible ; on peut enfin suivre l’argument spectral sur un élément choisi. Dans le cas positif A = ℂ et a = 3 + 4i, ces contrôles sont immédiats : l’unité est 1, la norme est le module complexe et tout complexe non nul admet un inverse. Le contre-cas matriciel de la rubrique « Quand ça s’applique » fournit le test opposé : un seul élément non nul et non inversible suffit à arrêter le protocole.

1. L’espace ℂ est complet pour le module et sa multiplication vérifie |zw| = |z||w|. Il forme donc une algèbre de Banach complexe unitaire.

2. Pour tout nombre z non nul, l’inverse est $z^{-1}=\bar{z}\mathrm{/}\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^{2}z^\{-1\}=\backslash overline\; z/|z|^2$. L’hypothèse d’algèbre de division est satisfaite.

3. Le spectre de a est l’ensemble réduit au scalaire 3 + 4i, car a − λ n’est pas inversible exactement lorsque λ = 3 + 4i.

Le théorème retrouve donc a = (3 + 4i) · 1. Comme contrôle indépendant, la norme de cet élément vaut $\mathrm{\mid }3+4i\mathrm{\mid }=\sqrt{3^2+4^2}=5|3+4i|=\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=5$, ce qui coïncide avec le module du scalaire correspondant.

Face à une prétendue extension complète de ℂ où toute division non nulle serait possible, le théorème sert de test structurel : il suffit d’établir les hypothèses pour savoir que chaque élément est déjà scalaire.

Dans une algèbre de Banach ordinaire, certains éléments non nuls peuvent ne pas être inversibles. On privilégie alors l’étude de leur spectre ; l’existence d’un seul tel élément interdit précisément d’utiliser Gelfand-Mazur sur l’algèbre entière.

Le résultat intervient aussi dans les arguments de théorie spectrale : lorsqu’un quotient ou une représentation conduit à une algèbre de division complexe complète, Gelfand-Mazur identifie cette algèbre à ℂ.

Une algèbre de Banach n’est pas nécessairement une algèbre de division. Le critère qui les sépare est l’inversibilité de chaque élément non nul : les matrices complexes 2 × 2 forment une algèbre de Banach, mais la matrice diagonale de coefficients 1 et 0 empêche d’appliquer Gelfand-Mazur.

Un espace de Banach ne possède, lui, qu’une structure linéaire complète ; aucune multiplication interne n’est requise. Par exemple, un espace de suites complexes peut être complet sans constituer l’algèbre de division visée par le théorème.

La structure sur ℂ ne peut pas être omise. Sur ℝ, les quaternions forment une algèbre de Banach de division qui n’est pas isomorphe à ℝ. Il faut alors employer les résultats propres aux algèbres réelles.

Zéro n’a pas à être inversible. Exiger un inverse pour tous les éléments, zéro compris, rendrait les hypothèses impossibles dans une algèbre non triviale ; la bonne condition porte exactement sur les éléments non nuls.

La complétude n’est pas un détail technique. Sans elle, l’argument analytique qui garantit un spectre complexe non vide peut échouer ; il faut compléter l’algèbre ou démontrer séparément l’existence de valeurs spectrales.

Dire que A est isomorphe à ℂ ne signifie pas que les deux ensembles ont été définis comme identiques. L’isomorphisme canonique associe λ à λ1_A et préserve l’addition, la multiplication et les scalaires.

L’article sur l’algèbre de Banach précise la structure complète et normée sur laquelle repose le théorème.

La fiche Spectre développe la notion qui fournit, dans la preuve, le scalaire complexe associé à chaque élément.