Limite inférieure (suites)
La limite inférieure d'une suite d'ensembles (An) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à An pour tout n suffisamment grand, c'est-à-dire l'ensemble des éléments appartenant à presque tous les An. Elle se note liminf An et correspond à la réunion sur n des intersections des Am pour m supérieur ou égal à n. La limite inférieure est toujours incluse dans la limite supérieure de la suite d'ensembles. Ce concept est fondamental en théorie de la mesure et en probabilités.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître qu’un élément appartient à presque tous les ensembles de la suite.
- Construire la limite inférieure par réunion d’intersections de fins de suite.
- Distinguer la limite inférieure de la limite supérieure et de l’intersection totale.
En clair
Imaginez une liste d’ensembles observés aux rangs 1, 2, 3, puis ainsi de suite. Un élément peut apparaître, disparaître et revenir. La limite inférieure ne retient que ceux dont les absences finissent par cesser : passé un certain rang, ils appartiennent à chaque ensemble suivant.
Dans la suite alternée {0, 1}, {0}, {0, 1}, {0},…, le nombre 0 reste toujours présent. Le nombre 1 revient sans fin, mais manque encore à tous les rangs pairs. La limite inférieure vaut donc {0}.
Définition
Soit une suite d’ensembles A1, A2, A3,… définis dans un même univers. Sa limite inférieure, notée , rassemble exactement les éléments qui appartiennent à An à partir d’un certain rang. Pour un élément x, le rang de départ peut dépendre de x.
On peut d’abord intersecter tous les ensembles d’une même fin de suite, puis réunir les intersections obtenues :
L’intersection de rang n garde les éléments présents dans tous les Am pour lesquels m est supérieur ou égal à n. La réunion autorise ensuite un rang de départ différent pour chaque élément.
Cette définition vaut sans supposer que la suite est croissante ou décroissante. La limite inférieure est toujours incluse dans la limite supérieure, qui retient les éléments présents une infinité de fois. Cette construction intervient notamment en théorie de la mesure et en probabilités.
Un exemple, pas à pas
Considérons la suite définie par An = {0, 1} lorsque le rang n est impair, et An = {0} lorsque n est pair. Les données utiles sont les deux éléments 0 et 1, les rangs entiers n ≥ 1 et l’alternance entre rangs impairs et pairs.
1. Le nombre 0 appartient à An pour chaque rang n. Il appartient donc à tous les ensembles de chaque fin de suite.
2. Le nombre 1 appartient aux ensembles de rang impair, mais pas à ceux de rang pair. Quel que soit le rang de départ choisi, un rang pair ultérieur l’exclut.
3. Pour tout rang n, l’intersection des Am avec m ≥ n vaut donc {0}. La réunion de toutes ces intersections vaut encore {0}.
Le résultat est . Pour le contrôler, prenez n’importe quel rang de départ : 0 reste présent ensuite, tandis que le prochain rang pair suffit à écarter 1 de l’intersection correspondante.
En pratique
Pour suivre une propriété au fil d’une suite d’objets, la limite inférieure isole les éléments qui finissent par la vérifier sans nouvelle interruption. Si seules les apparitions répétées comptent, même séparées par des absences, la limite supérieure est l’outil adapté.
En probabilités, une suite d’événements An peut décrire une condition testée à chaque rang. Appartenir à leur limite inférieure signifie que, pour l’issue considérée, seuls un nombre fini de tests échouent. Pour étudier au contraire les réussites qui surviennent infiniment souvent, on emploie la limite supérieure.
Dans une suite croissante d’ensembles, chaque élément entré ne ressort plus : la limite inférieure se réduit alors à la réunion de tous les ensembles. Dans une suite décroissante, elle se réduit à leur intersection. Ces raccourcis ne conviennent pas à une suite qui oscille.
À ne pas confondre
Limite supérieure d’une suite d’ensembles. Elle retient un élément présent une infinité de fois, même s’il disparaît encore une infinité de fois. Dans la suite alternée {0, 1}, {0},…, le nombre 1 appartient à la limite supérieure, mais pas à la limite inférieure.
Intersection de tous les An. Elle exige la présence dès le premier rang, tandis que la limite inférieure tolère un nombre fini d’absences initiales. Si A1 = {0} puis An = {0, 1} pour n ≥ 2, le nombre 1 est dans la limite inférieure, mais pas dans l’intersection totale.
Limite inférieure d’une suite de nombres. Celle-ci est une valeur numérique décrivant les valeurs planchers à long terme. Ici, le résultat est un ensemble et le critère porte sur l’appartenance éventuelle de chaque élément.
Limites et pièges
Une longue présence ne suffit pas. Observer un élément dans les mille premiers ensembles ne prouve pas qu’il restera toujours présent ensuite. Il faut établir l’existence d’un rang après lequel aucune absence ne se produit.
« Presque tous » ne signifie pas une forte proportion. Dans ce contexte, l’expression signifie « tous sauf un nombre fini ». Des absences rares mais infiniment nombreuses excluent encore l’élément de la limite inférieure.
La limite peut être vide. Pour An = {n}, aucun élément ne demeure dans tous les ensembles à partir d’un certain rang. Le symptôme est qu’une valeur présente au rang n disparaît dès le rang suivant ; la construction par intersections donne alors l’ensemble vide.
L’égalité avec la limite supérieure n’est pas automatique. Dans l’exemple alterné, leurs résultats diffèrent à cause du nombre 1. On ne parle de limite ensembliste commune que lorsque les deux ensembles coïncident.
Pour aller plus loin
La limite supérieure (ensembles) complète le tableau : elle caractérise les appartenances qui se reproduisent infiniment souvent. Comparer les deux limites permet de décider si chaque élément finit par avoir un statut stable.
La fiche limite inférieure (ensembles) replace la construction dans le vocabulaire général des opérations sur les ensembles.
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