matrice de Vandermonde
Une matrice de Vandermonde est une matrice rectangulaire de m lignes et n colonnes associée à une suite de scalaires a1, a2, …, am, dans laquelle chaque ligne est une suite géométrique de raison ai : la i-ème ligne est de la forme . Le déterminant de la matrice de Vandermonde carrée d'ordre n, noté V(a1, …, an), est donné par la formule explicite . Ce déterminant est non nul si et seulement si les scalaires a1, …, an sont deux à deux distincts. Les matrices de Vandermonde apparaissent naturellement dans l'interpolation polynomiale de Lagrange : la résolution du système de Vandermonde permet de déterminer les coefficients du polynôme interpolateur passant par n points donnés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire chaque ligne à partir des puissances successives d’un scalaire.
- Calculer le déterminant comme produit des différences et reconnaître le cas inversible.
- Retrouver les coefficients de x² + 1 à partir de trois points par un système de Vandermonde.
- Distinguer la matrice de son déterminant, de ses lignes géométriques et de la forme de Lagrange.
En clair
Écrivons trois nombres, par exemple 1, 2 et 3. Pour chacun, formons une ligne avec 1, puis le nombre, puis son carré. On obtient (1, 1, 1), (1, 2, 4) et (1, 3, 9). Leur empilement est une matrice de Vandermonde.
Cette organisation transforme des puissances en outil de calcul. Si les trois nombres sont distincts, les lignes apportent assez d’information pour retrouver un unique polynôme de degré au plus 2 passant par trois points donnés.
Définition
Soient m et n deux entiers strictement positifs, et soient a1, …, am des scalaires appartenant à un même corps, par exemple ℝ ou ℂ. La matrice de Vandermonde associée possède m lignes et n colonnes. Sa ligne d’indice i contient les puissances successives du scalaire ai, de l’exposant 0 à l’exposant n − 1 : . Chaque ligne est donc une suite géométrique de raison ai.
Lorsque le nombre de lignes égale le nombre de colonnes, donc lorsque m = n, la matrice est carrée. Son déterminant, noté V(a1, …, an), est le produit de toutes les différences où l’indice j est supérieur à l’indice i :
Ce produit est non nul exactement lorsque les scalaires sont deux à deux distincts. La matrice carrée est alors inversible.
Pour interpoler n points dont les abscisses sont a1, …, an, les inconnues peuvent être les n coefficients d’un polynôme de degré au plus n − 1. Chaque ligne traduit la valeur de ce polynôme à une abscisse. Résoudre le système de Vandermonde détermine ces coefficients ; la condition de distinction des abscisses garantit leur unicité.
De quoi c'est fait
La construction repose sur quatre éléments. Les m scalaires a1, …, am fixent une raison par ligne. Les m lignes rassemblent leurs puissances successives. Les n colonnes correspondent aux exposants 0, 1, …, n − 1. Enfin, l’ordre des scalaires fixe l’ordre des lignes.
Le nombre de scalaires impose donc le nombre de lignes, tandis que le nombre de puissances retenues impose le nombre de colonnes. Une entrée située à la ligne i et à la colonne j vaut aij−1. La première colonne ne dépend d’aucun choix de valeur : elle ne contient que des 1. Ces données suffisent à construire toute matrice de Vandermonde. Le déterminant demande en plus une forme carrée, c’est-à-dire m = n ; la couleur ou la disposition graphique ne joue aucun rôle.
Un exemple, pas à pas
Cherchons le polynôme de degré au plus 2 passant par trois points. Ses coefficients constant, linéaire et quadratique sont notés c0, c1 et c2.
Données.
Les points sont (1, 2), (2, 5) et (3, 10).
Leurs abscisses sont 1, 2 et 3.
Le polynôme est p(x) = c0 + c1x + c2x2.
Les points sont (1, 2), (2, 5) et (3, 10).
Leurs abscisses sont 1, 2 et 3.
Le polynôme est p(x) = c0 + c1x + c2x2.
1. Construire le système. Chaque ligne contient 1, l’abscisse, puis son carré. Elle relie les coefficients à l’ordonnée correspondante :
Le passage de x à la ligne 1, x, x² est ainsi explicite.
2. Vérifier l’inversibilité. Le produit des différences vaut . Le déterminant étant non nul, le système possède une solution unique.
3. Éliminer les inconnues. Les différences de deux équations successives donnent c1 + 3c2 = 3 et c1 + 5c2 = 5. Leur différence fournit c2 = 1, puis c1 = 0 et c0 = 1.
4. Contrôler. Le résultat est p(x) = x2 + 1. Pour x égal à 1, 2 puis 3, il redonne 2, 5 puis 10.
En pratique
Quand n points ont des abscisses distinctes et qu’il faut obtenir les coefficients dans la base 1, x, x2, …, la matrice de Vandermonde transforme directement les conditions p(ai) = yi en système linéaire. Si seule une écriture interpolatrice est recherchée, la forme de Lagrange évite de résoudre ce système coefficient par coefficient.
Avant de résoudre un système carré, le produit des différences fournit un contrôle rapide. Dès que deux abscisses coïncident, un facteur vaut 0 et l’inversion doit être abandonnée. Il faut alors vérifier les données répétées plutôt que poursuivre une élimination supposant une solution unique.
Pour construire une ligne à la main, on part de 1 et l’on multiplie chaque terme par la même abscisse. Avec l’abscisse 3, ce geste produit 1, 3, 9. Calculer séparément chaque puissance reste possible pour une ligne courte ; la progression géométrique rend surtout le contrôle visuel immédiat.
À ne pas confondre
Matrice et déterminant de Vandermonde. La matrice est le tableau de puissances ; son déterminant est un seul scalaire, défini uniquement dans le cas carré. Dans l’exemple, le tableau comporte neuf entrées tandis que son déterminant vaut 2.
Système de Vandermonde et forme de Lagrange. Les deux décrivent le même polynôme interpolateur lorsque les abscisses sont distinctes, mais pas avec les mêmes inconnues. Si l’on cherche directement les coefficients de 1, x et x2, on résout le système ; la forme de Lagrange construit plutôt le polynôme à partir des points.
Matrice de Vandermonde et suite géométrique. Chaque ligne est une suite géométrique, mais la matrice entière n’est pas une seule suite. Pour l’abscisse 2, la ligne (1, 2, 4) a pour raison 2 ; la ligne suivante (1, 3, 9) a pour raison 3.
Limites et pièges
Deux scalaires égaux. Si ai = aj pour deux indices différents, les lignes correspondantes sont identiques et le facteur aj − ai vaut 0. Le déterminant est nul : il faut corriger ou reformuler les données avant de chercher une solution unique par inversion.
Matrice rectangulaire. Une matrice de Vandermonde peut avoir m lignes et n colonnes avec m ≠ n, mais elle n’a alors pas de déterminant. Le produit des différences ne doit pas lui être appliqué comme un déterminant ; il faut étudier directement les équations disponibles.
Ordre des scalaires. Échanger deux scalaires échange deux lignes et change le signe du déterminant. Sa nullité ne change pas. Si seule l’inversibilité importe, l’ordre est sans effet ; si la valeur signée est utilisée, chaque permutation de lignes doit être suivie.
Ordre 1. Avec un seul scalaire, la matrice carrée est [1]. Le produit ne contient aucune différence et vaut 1 par convention. Le critère reste cohérent : une liste réduite à un élément est automatiquement formée de scalaires deux à deux distincts.
Pour aller plus loin
suite géométrique — Pour revoir la progression qui forme chaque ligne de la matrice.
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