méthode de double fausse position

Un vendeur ajoute 18 € de frais fixes, puis 7 € par objet. Dix objets coûtent 88 €, soit 14 € de moins que la cible de 102 €. Quatorze objets coûtent 116 €, soit 14 € de trop.

La double fausse position met ces deux erreurs en balance. Comme elles ont ici la même taille et des signes opposés, la bonne quantité se trouve à mi-chemin entre 10 et 14 : douze objets. Les deux essais révèlent ainsi comment le résultat varie, même avec des frais fixes qui empêchent une simple règle de trois.

La méthode de double fausse position détermine une inconnue à partir de deux valeurs d’essai et des écarts qu’elles produisent par rapport à une cible. On note x₁ et x₂ les essais. Pour une valeur x, le résultat calculé est noté f(x), la cible T, et l’erreur signée e = f(x) − T. Une erreur négative indique un déficit ; une erreur positive, un excédent.

Si la relation entre x et f(x) est affine, les deux points déterminent entièrement la variation de l’erreur. Avec les erreurs e₁ et e₂, distinctes, la valeur recherchée est $x^{\ast }=\frac{x_1{e}_2-x_2{e}_1}{e_2-e_1}x^*=\backslash frac\{x\_1e\_2-x\_2e\_1\}\{e\_2-e\_1\}$. Des erreurs de signes opposés encadrent la solution et rendent la lecture particulièrement sûre. La méthode traite donc une relation non proportionnelle comme f(x) = 18 + 7x : le terme fixe interdit une simple mise à l’échelle, mais n’empêche pas le calcul exact. Si la relation n’est pas affine, la même combinaison donne seulement l’intersection de la sécante avec le niveau cible ; elle constitue alors une approximation à contrôler ou à itérer.

Pour une relation affine et une cible T, choisissez deux essais distincts x₁ et x₂. Calculez leurs erreurs signées e₁ = f(x₁) − T et e₂ = f(x₂) − T, avec e₁ ≠ e₂. Combinez-les ensuite :

Le calcul s’arrête lorsque f(x^*) = T. Avec une relation affine, ce contrôle confirme une valeur exacte ; sinon, il mesure l’erreur résiduelle de l’approximation.

La méthode donne directement la solution exacte lorsque le résultat dépend de l’inconnue par une relation affine, que la même cible est utilisée pour les deux essais et que les erreurs sont calculées avec une convention de signe constante. Il faut aussi obtenir deux erreurs différentes ; des erreurs de signes opposés garantissent que la solution se situe entre les essais.

Une relation courbe bloque cette conclusion exacte. Par exemple, pour f(x) = x² et T = 2, les essais 1 et 2 conduisent par interpolation à 4/3, alors que (4/3)² = 16/9 ≠ 2. Il faut alors répéter une méthode numérique adaptée, ou résoudre autrement l’équation, jusqu’à atteindre la précision voulue.

Une commande coûte 18 € de frais fixes, plus 7 € par objet. Le montant visé est 102 €. Les données sont donc le calcul f(x) = 18 + 7x et la cible T = 102 €, où x désigne le nombre d’objets.

1. Avec le premier essai x₁ = 10, le montant vaut 18 + 7 × 10 = 88 €. Son erreur signée est e₁ = 88 − 102 = −14 €.
2. Avec le second essai x₂ = 14, le montant vaut 18 + 7 × 14 = 116 €. Son erreur est e₂ = 116 − 102 = 14 €.
3. La double fausse position donne $x^{\ast }=\frac{10\times 14-14\times (-14)}{14-(-14)}=\frac{336}{28}=12x^*=\backslash frac\{10\backslash times14-14\backslash times(-14)\}\{14-(-14)\}=\backslash frac\{336\}\{28\}=12$.

La commande contient donc 12 objets. Le contrôle est direct : 18 + 7 × 12 = 102 €. Le graphique associé montre que l’erreur varie en ligne droite entre −14 €, 0 € et +14 € ; son passage par zéro correspond à la quantité cherchée.

Dans un problème verbal comportant un forfait puis un coût par unité, deux essais complets peuvent éviter de devoir isoler immédiatement l’inconnue. On conserve les deux résultats et surtout leurs écarts signés à la somme visée.

Quand l’équation affine est déjà écrite, la résolution algébrique directe est généralement plus courte. La double fausse position reste utile pour interpréter deux simulations, deux lignes de calcul ou une procédure qui fournit un résultat sans livrer sa formule.

Avant de conclure, on recalcule le résultat avec la valeur obtenue. Si le contrôle ne rejoint pas la cible, la relation n’est peut-être pas affine, une erreur a été prise avec le mauvais signe ou des arrondis ont été introduits trop tôt.

La simple fausse position part d’un seul essai puis le corrige par proportion. Elle convient à f(x) = 7x : doubler x double le résultat. Pour f(x) = 18 + 7x, le forfait de 18 € rompt cette proportionnalité ; deux essais sont nécessaires.

La méthode numérique de la fausse position, ou regula falsi, emploie elle aussi deux valeurs encadrantes et une sécante. Dans son usage numérique, elle répète l’opération pour approcher la racine d’une fonction non linéaire. La double fausse position appliquée à une relation affine, elle, s’achève après une combinaison exacte.

Si e₁ = e₂, le dénominateur de la formule est nul. Les deux essais n’indiquent alors aucune variation exploitable : il faut choisir d’autres valeurs ou revoir le modèle.

Si la relation n’est pas affine, le résultat est une approximation. Le symptôme est un contrôle f(x^*) ≠ T ; il faut conserver cette erreur résiduelle et employer une itération numérique adaptée au lieu d’annoncer une valeur exacte.

Inverser la convention de signe pour un seul essai fausse la pondération. Les deux écarts doivent toujours être calculés dans le même ordre, par exemple « résultat moins cible ».

Une solution non entière peut être impossible lorsque x compte des objets. Il ne suffit pas de l’arrondir : il faut tester les entiers admissibles voisins et vérifier lequel respecte la contrainte du problème, s’il en existe un.

La méthode de fausse position montre comment un essai unique est corrigé lorsque le problème est proportionnel.

La fonction affine formalise le rôle du terme fixe et explique pourquoi deux points déterminent ici le résultat exact.

L’interpolation linéaire éclaire la combinaison pondérée des deux essais et son interprétation comme passage de la sécante au niveau cible.