nombre tétragone

Disposez 16 points en quatre rangées de quatre : ils dessinent un carré sans qu'il en manque ni qu'il en reste. Le nombre 16 est donc un nombre carré. « Nombre tétragone » est l'ancien nom de cette même idée. Le mot évoque une figure à quatre angles ; l'usage moderne préfère « nombre carré » ou « carré parfait ».

Un nombre tétragone est ce que l'on nomme aujourd'hui un nombre carré, ou carré parfait. Pour un entier naturel non négatif appelé n, il s'écrit comme le produit de n par lui-même. Cette écriture est notée $n^2=n\times nn^2=n\backslash times\; n$. Ainsi, 16 est tétragone parce que 16 = 4 × 4. Géométriquement, autant de points peuvent être rangés en n lignes de n points pour former un carré.

Le terme décrit donc une propriété arithmétique du nombre, et non la forme d'un objet qui porterait ce nombre. Son étymologie associe le préfixe grec « tétra- », quatre, et « -gone », angle : tétragone signifie quadrilatère. D'après la tradition rapportée par la définition historique, Pythagore employait cette dénomination pour les carrés parfaits. Courante au Moyen Âge, elle est ensuite tombée en désuétude au profit de « nombre carré ».

On veut vérifier si 16 est un nombre tétragone. Les données sont le nombre 16 et quatre rangées prévues, chacune pouvant recevoir quatre points. La représentation associée montre exactement les seize points de ce contrôle.

1. Placez quatre points sur la première rangée.
2. Reproduisez cette rangée trois fois afin d'en obtenir quatre.
3. Comptez les points : 4 + 4 + 4 + 4 = 16.
4. Vérifiez par multiplication : 4 × 4 = 16.

Le résultat est exact : 16 est le carré de 4, donc un nombre tétragone. Le contrôle est refaisable en recomptant quatre points dans chacune des quatre rangées. À l'inverse, avec 15 points, la dernière rangée n'en contiendrait que trois ; le carré de côté quatre ne serait pas complet.

Pour reconnaître un nombre tétragone, cherchez un entier naturel dont le produit par lui-même donne ce nombre. Pour 16, le calcul 4 × 4 fournit un contrôle exact. Si aucun entier ne convient, l'expression « nombre carré » ne s'applique pas.

Dans un texte contemporain, employez plutôt « nombre carré » ou « carré parfait ». Gardez « nombre tétragone » lorsque le vocabulaire historique lui-même est l'objet du passage ; le caractère ancien du terme est alors une information pertinente.

Une disposition en points offre un contrôle visuel : le même nombre doit remplir autant de rangées qu'il y a de points par rangée. Pour un calcul rapide, la multiplication est préférable, car elle évite de dessiner tous les points.

Un nombre tétragone et le carré d'un nombre quelconque. Le premier est un entier naturel égal au carré d'un entier naturel. Le carré de 2,5 vaut 6,25, mais 6,25 n'est pas un nombre tétragone dans ce sens arithmétique.

Un nombre tétragone et un quadrilatère. « Tétragone » signifie étymologiquement quadrilatère, mais le nombre tétragone ne désigne pas une figure quelconque à quatre angles. Par exemple, 16 est tétragone parce que 16 = 4 × 4, et non parce que le nombre 16 aurait quatre angles.

Le cas de zéro dépend du cadre annoncé. Avec les entiers naturels comprenant zéro, 0 = 0 × 0 est un nombre carré. Une liste historique de nombres figurés peut commencer à 1. Il faut donc lire la convention adoptée au lieu de déduire l'absence de zéro du seul mot « tétragone ».

Le vocabulaire ancien peut masquer une notion familière. Si un texte emploie « nombre tétragone », le bon réflexe est de traduire par « nombre carré », puis de vérifier qu'un entier multiplié par lui-même donne le nombre étudié. Il ne faut pas chercher une nouvelle catégorie de nombres.

Le dessin n'est pas la preuve à lui seul. Des points approximativement placés en carré peuvent tromper l'œil. Le symptôme est une rangée incomplète ou un comptage incertain. Il faut contrôler que les deux dimensions contiennent le même entier de points, puis vérifier le produit correspondant.

nombre carré — La dénomination moderne permet d'approfondir la définition arithmétique évoquée par le terme historique.

Carré parfait — Ce synonyme précise le critère qui permet de reconnaître les entiers obtenus en multipliant un entier par lui-même.

nombre figuré — Cette notion replace la disposition carrée de points dans la famille plus large des nombres représentés par des figures.