problème de Jacob Steiner
Le « problème de Jacob Steiner » n’est pas un énoncé unique : cette appellation regroupe plusieurs questions de géométrie, et l’objet étudié permet de déterminer laquelle est visée. Dans son sens combinatoire, il demande le nombre maximal de régions créées par n plans de l’espace en position générale : aucun couple n’est parallèle, chaque triplet se rencontre en un point et aucun quadruplet ne se rencontre en un point.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les quatre questions regroupées sous le nom de problèmes de Steiner.
- Calculer le maximum de 15 régions obtenu avec quatre plans.
- Reconnaître les hypothèses et les cas limites de chaque formulation.
En clair
Imaginez quatre plans traversant l'espace. Selon leur position, ils peuvent former plus ou moins de régions ; la question de Steiner demande le plus grand nombre possible. Le même nom apparaît aussi quand on inscrit une ellipse dans un triangle, quand on construit avec une règle seule ou quand on cherche un point qui réduit une somme de distances.
Le « problème de Jacob Steiner » n'est donc pas une énigme unique. C'est une appellation collective : il faut d'abord repérer l'objet mentionné pour savoir quel problème précis est en jeu.
Définition
L'expression « problèmes de Steiner » regroupe plusieurs questions rattachées au mathématicien suisse Jakob Steiner (1796–1863), dont les travaux portent surtout sur la géométrie projective, la tangence et les constructions à la règle seule. Elle ne désigne pas un énoncé unique : son sens dépend de l'objet étudié.
Pour le découpage de l'espace, le nombre de plans est noté n. Le nombre maximal de régions vaut . Ce maximum suppose une position générale : aucun couple de plans n'est parallèle, chaque groupe de trois se rencontre en un point et aucun groupe de quatre ne passe par un même point. Une autre question porte sur l'aire des ellipses inscrites dans un triangle donné.
Le nom de Steiner renvoie aussi à un résultat de construction : toute construction possible à la règle et au compas peut être réalisée à la règle seule si un cercle et son centre sont déjà disponibles. Enfin, le problème de distance demande un point de l'espace qui minimise la somme de ses distances à n points donnés ; il étend ainsi le problème de Fermat.
Un exemple, pas à pas
On cherche le maximum obtenu avec quatre plans. Les données sont : le nombre de plans n vaut 4 ; le nombre maximal de régions est noté R(n) ; aucun couple de plans n'est parallèle, chaque groupe de trois se rencontre en un point et les quatre plans ne passent pas par un même point.
1. On applique la formule du maximum : .
2. On remplace n par 4 et l'on calcule chaque terme : .
3. Le numérateur vaut 90, puis 90 divisé par 6 donne exactement 15. Ainsi, quatre plans peuvent partager l'espace en 15 régions au maximum.
4. Un contrôle progressif retrouve le même résultat : avant tout plan, il y a 1 région ; les quatre plans ajoutent successivement 1, 2, 4 puis 7 régions. La somme 1 + 1 + 2 + 4 + 7 vaut bien 15.
En pratique
Devant l'expression « problème de Steiner », commencez par identifier l'objet cité. Des plans et des régions signalent le problème de découpage ; si la disposition concrète est connue, comptez les régions au lieu d'appliquer automatiquement la formule du maximum.
Avec une ellipse dans un triangle, la question est une optimisation d'aire. Si l'objet cherché est un cercle, il faut traiter ce cas particulier comme tel plutôt que supposer que toutes les ellipses ont les mêmes propriétés.
Dans une construction géométrique, vérifiez le matériel initial. La règle seule convient au résultat de Steiner seulement lorsqu'un cercle déjà tracé et son centre sont disponibles ; sans cette donnée, l'énoncé ne s'applique pas.
Pour une somme de distances, listez les points donnés et la grandeur à minimiser. Le problème de Fermat convient au cas classique associé à un triangle ; la formulation généralisée traite un nombre quelconque de points.
À ne pas confondre
Le problème de Steiner sur les distances ne se confond pas avec le seul problème de Fermat. Le critère est le nombre de points donnés : le problème de Fermat est le cas classique lié à un triangle, tandis que la formulation de Steiner admet un nombre quelconque de points.
Une construction à la règle seule ne signifie pas que toute configuration initiale suffit. Le test est la présence d'un cercle déjà tracé avec son centre : elle fait partie de l'hypothèse du résultat attribué à Steiner.
Limites et pièges
La formule donne un maximum, pas le nombre obtenu par toute disposition. Deux plans parallèles constituent un symptôme immédiat d'une configuration non maximale ; il faut alors compter les régions réellement créées.
La question d'une ellipse inscrite d'aire minimale exige une précaution. Parmi les ellipses non dégénérées inscrites dans un triangle, l'aire peut s'approcher de 0 sans qu'une ellipse d'aire nulle existe ; il n'y a donc pas de minimum non dégénéré atteint. Il faut distinguer cette borne inférieure du problème de l'aire maximale.
Le minimiseur d'une somme de distances n'est pas toujours unique. Avec seulement deux points distincts, tout point du segment qui les relie donne la même somme minimale, égale à leur distance ; il faut alors parler d'un ensemble de solutions.
La condition du cercle accompagné de son centre n'est pas décorative dans la construction à la règle seule. Si le centre n'est pas donné, le résultat énoncé ici ne peut pas être invoqué tel quel ; il faut revenir aux hypothèses exactes du problème considéré.
Pour aller plus loin
À la règle seule... ou presque examine précisément le rôle du cercle et de son centre dans les constructions de Steiner.
Le glossaire point de Fermat approfondit le cas triangulaire dont le problème de somme des distances constitue une généralisation.
La fiche géométrie projective situe le domaine central dans lequel s'inscrivent de nombreux travaux de Steiner.
La fiche Steiner Jacob replace ces problèmes dans le parcours du mathématicien auquel ils sont associés.
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