problème du duc de Toscane

Lancez trois dés de couleurs différentes et additionnez leurs faces. Le total 9 peut venir de 1, 2 et 6 ; le total 10, de 1, 3 et 6. Ces deux groupes offrent chacun six ordres possibles. En revanche, 3, 3 et 3 ne produit qu'un seul ordre, tandis que 3, 3 et 4 en produit trois.

Voilà le piège observé dans le problème du duc de Toscane : compter seulement les groupes de nombres efface leurs différences de multiplicité. En comptant les dés comme distincts, la somme 10 possède 27 issues, contre 25 pour la somme 9.

Le problème du duc de Toscane est un paradoxe apparent de dénombrement appliqué à trois dés ordinaires à six faces. Le duc avait remarqué que la somme 10 survenait plus souvent que la somme 9. Pourtant, chacune possède six partitions en trois entiers compris entre 1 et 6. Une partition telle que 1 + 2 + 6 ne tient pas compte de l'ordre des dés.

Pour calculer une probabilité, les résultats élémentaires doivent être équiprobables. On distingue donc les trois dés, par exemple par leur couleur. Chaque lancer devient un triplet ordonné : (1, 2, 6), (2, 1, 6) et (6, 2, 1) sont alors des résultats différents. Si les dés sont équilibrés et lancés indépendamment, les 6³ = 216 triplets ordonnés sont équiprobables.

Les six partitions de 9 représentent au total 25 triplets ordonnés, tandis que les six partitions de 10 en représentent 27. Les probabilités exactes sont donc $P(S=9)=\frac{25}{216}P(S=9)=\backslash frac\{25\}\{216\}$ et $P(S=10)=\frac{27}{216}=\frac{1}{8}P(S=10)=\backslash frac\{27\}\{216\}=\backslash frac18$, où la lettre S désigne la somme des trois faces. La différence vient des répétitions à l'intérieur des partitions, qui changent le nombre d'ordres possibles.

On lance indépendamment un dé rouge, un dé jaune et un dé noir, tous équilibrés et à six faces. Les données sont trois dés distincts, 6³ = 216 résultats équiprobables, et les deux sommes à comparer : 9 et 10.

Étape 1. Pour 9, les partitions sont 1 + 2 + 6, 1 + 3 + 5, 1 + 4 + 4, 2 + 2 + 5, 2 + 3 + 4 et 3 + 3 + 3. Leurs nombres d'ordres sont respectivement 6, 6, 3, 3, 6 et 1, soit 25.

Étape 2. Pour 10, les partitions sont 1 + 3 + 6, 1 + 4 + 5, 2 + 2 + 6, 2 + 3 + 5, 2 + 4 + 4 et 3 + 3 + 4. Leurs nombres d'ordres sont 6, 6, 3, 6, 3 et 3, soit 27.

Étape 3. On divise chaque effectif par 216 :La somme 10 gagne donc 2 issues sur 216, soit un écart exact de 1/108. Le contrôle consiste à refaire les deux additions de multiplicité : 25 et 27.

Dans un jeu de dés, on décrit d'abord un résultat complet avant de compter. Avec trois dés discernables, le triplet ordonné est préférable à une simple partition, car il conserve l'identité de chaque dé.

Pour vérifier une intuition issue de l'expérience, on compare des fréquences observées aux probabilités théoriques. Sur un grand nombre de lancers, on s'attend ici à voir 10 un peu plus souvent que 9, sans que ce classement soit garanti.

Face à un dénombrement par catégories, on contrôle si toutes les catégories contiennent le même nombre d'issues élémentaires. Si leurs tailles diffèrent, on additionne leurs multiplicités au lieu de compter chaque catégorie une seule fois.

Partition et triplet ordonné. Une partition oublie l'ordre : 1 + 2 + 6 et 6 + 2 + 1 y décrivent la même décomposition. Un triplet ordonné attribue une valeur à chacun des trois dés : ces deux écritures deviennent alors deux résultats distincts.

Équiprobabilité et égalité des sommes. Les 216 triplets ordonnés sont équiprobables lorsque les dés sont équilibrés et indépendants. Les sommes ne le sont pas : 9 regroupe 25 triplets et 10 en regroupe 27. Le nombre d'issues regroupées tranche la distinction.

Dés non équilibrés. Compter les triplets ne suffit plus si certaines faces sont favorisées. Le symptôme est que deux triplets n'ont pas la même probabilité. Il faut alors additionner les probabilités des triplets, et non leurs seuls effectifs.

Dés dépendants. Le total de 216 triplets possibles reste un inventaire, mais l'hypothèse d'équiprobabilité échoue si un dé influence un autre. Il faut décrire la loi conjointe du lancer avant de calculer la probabilité d'une somme.

Petits échantillons. L'avantage théorique de 10 n'est que de 2 issues sur 216. Dans une courte série, 9 peut donc apparaître davantage par fluctuation. On ne remplace pas la probabilité exacte par le classement observé sur quelques lancers.

Le glossaire dénombrement présente les principes qui permettent de compter les issues sans omission ni double compte.

La fiche Équiprobabilité précise quand un comptage d'issues peut être transformé directement en quotient de probabilités.

L'article Les mathématiques se prêtent au jeu élargit la perspective aux liens entre raisonnements mathématiques et situations de jeu.