Quatre sommets (théorème des)

Imaginez le contour lisse d’un galet parfaitement bombé. En avançant le long de ce contour, il tourne parfois plus brusquement, parfois plus doucement. Un sommet est un point où cette façon de tourner atteint un pic ou un creux local.

Le théorème garantit au moins quatre de ces points sur tout contour plan fermé, lisse et convexe : au moins deux où la courbure est localement forte et deux où elle est localement faible. Une ellipse non circulaire montre le minimum possible, avec exactement quatre sommets.

Dans ce théorème, un sommet n’est pas l’angle d’un polygone. C’est un point d’une courbe plane lisse où la courbure atteint un extremum local. La courbure mesure l’intensité avec laquelle la tangente tourne quand on parcourt la courbe.

Le résultat s’applique à une courbe fermée et convexe du plan, suffisamment régulière pour que sa courbure soit définie et que ses extrema locaux aient un sens. Il assure au moins quatre sommets : deux maxima locaux et deux minima locaux de courbure. Ces extrema sont locaux, car la comparaison se fait avec les points voisins le long de la courbe.

Une ellipse non circulaire possède exactement quatre sommets. Un cercle constitue un cas dégénéré : sa courbure est constante, si bien que tout point peut être regardé comme un maximum et un minimum local au sens non strict. Le nombre quatre est donc une borne minimale, pas un décompte universel. Le théorème est attribué à Mukhopadhyaya, qui l’a établi en 1909.

Si une courbe du plan est fermée, convexe et suffisamment lisse pour posséder une courbure continue, alors sa courbure admet au moins quatre extrema locaux le long d’un tour complet. Parmi eux figurent au moins deux maxima locaux et deux minima locaux. Autrement dit, la courbe comporte au moins quatre sommets de courbure.

Le domaine est celui des courbes planes qui forment un contour fermé et convexe. Le tracé doit être suffisamment lisse : il ne présente pas d’angle, et sa courbure doit pouvoir être suivie continûment tout au long du contour. Enfin, les points comparés sont voisins selon le parcours de la courbe, non selon leur seule proximité dans le plan.

Un carré ne satisfait pas ces hypothèses : sa direction change brutalement aux coins et la courbure usuelle n’y est pas définie. On ne peut donc pas appeler ses quatre coins des sommets au sens du théorème. Pour un polygone, il faut employer les notions propres aux angles ou une version discrète de la courbure.

Considérons l’ellipse dont le demi-grand axe vaut 3 et le demi-petit axe 2. Un point est repéré par un paramètre t : son abscisse vaut 3 cos t et son ordonnée 2 sin t. Sa courbure, notée κ(t), est donnée par la formule suivante.

1. Pour t = 0 ou t = π, le point est (3, 0) ou (−3, 0). Le dénominateur vaut 8, donc κ = 3/4. Ce sont deux maxima locaux.

2. Pour t = π/2 ou t = 3π/2, le point est (0, 2) ou (0, −2). Le dénominateur vaut 27, donc κ = 2/9. Ce sont deux minima locaux.

3. Entre ces quatre paramètres, le dénominateur varie strictement entre ses valeurs extrêmes sur chaque quart de tour. Il n’apparaît donc aucun autre extremum local.

L’ellipse possède exactement quatre sommets : (±3, 0) et (0, ±2). Le contrôle est refaisable par symétrie et par l’inégalité 2/9 ≤ κ(t) ≤ 3/4. La figure matérialise ces deux paires et leurs valeurs distinctes.

Pour étudier un contour lisse mesuré, on peut tracer sa courbure en fonction de la longueur parcourue. Les pics et les creux donnent les sommets ; ce procédé est préférable à l’observation seule lorsque les variations sont peu visibles.

Pour contrôler un modèle de courbe convexe fermée, on vérifie que le calcul fournit au moins deux maxima et deux minima locaux. Si ce bilan échoue, il faut revoir les hypothèses, l’échantillonnage ou le calcul de courbure plutôt que conclure que le théorème est faux.

Pour un contour polygonal ou bruité, la courbure lisse n’est pas directement exploitable. On choisit alors une courbure discrète ou un lissage explicite, selon que l’on veut conserver les angles ou étudier une forme régulière sous-jacente.

Sommet de courbure et sommet d’un polygone. Le premier est un extremum local de courbure sur un tracé lisse ; le second est la rencontre de deux côtés. Sur un carré, les coins sont des sommets polygonaux, mais ils ne relèvent pas directement du théorème des quatre sommets.

Courbure extrémale et point d’inflexion. Un sommet compare la valeur de la courbure avec celles des points voisins. Un point d’inflexion signale un changement de sens de concavité. Une ellipse a quatre sommets de courbure et aucun point d’inflexion.

Le cercle. Sa courbure est constante : il n’existe pas quatre extrema isolés. Au sens local non strict, chaque point est à la fois maximum et minimum. Il faut donc éviter d’annoncer « exactement quatre sommets » pour toute courbe.

La perte de convexité. Une courbe fermée lisse comportant un creux sort du cadre donné. Le simple fait de repérer quatre changements visuels de direction ne permet plus d’invoquer ce théorème ; il faut analyser la courbure de cette courbe particulière.

Les angles et les données échantillonnées. À un angle, la courbure classique n’est pas définie. Sur un relevé numérique, de faux extrema peuvent aussi naître du bruit. Il faut choisir une notion discrète ou un lissage annoncé, puis vérifier que les quatre extrema persistent avec la précision retenue.

Le seuil quatre. Le théorème garantit au moins quatre sommets, dont deux maxima et deux minima locaux. Il n’interdit ni six sommets, ni huit, ni davantage ; l’ellipse non circulaire atteint seulement le cas minimal avec quatre.

L’ellipse fournit le modèle minimal du théorème : sa géométrie permet de situer et de calculer exactement ses quatre sommets de courbure.

L’article L'ellipse et ses différents attributs replace les demi-axes utilisés dans l’exemple parmi les éléments géométriques caractéristiques de l’ellipse.