relation de Simson

Prenons trois termes consécutifs de Fibonacci : 3, 5 et 8. Le carré du terme central vaut 25, tandis que le produit de ses voisins vaut 24. L’écart est exactement égal à 1.

Au trio suivant, 5, 8 et 13, le carré central vaut 64 et le produit des voisins 65. L’écart vaut alors −1. La relation de Simson décrit cette alternance régulière entre +1 et −1.

La relation de Simson, aussi appelée identité de Cassini, est une identité satisfaite par trois termes consécutifs de la suite de Fibonacci. Adoptons la convention décalée où les termes de rang 0 et 1, notés u₀ et u₁, valent tous deux 1. Chaque terme suivant est la somme des deux précédents.

Pour tout entier n au moins égal à 1, u_n désigne le terme central, entouré de u_n−1 et u_n+1. L’identité s’écrit : $u_n^2-u_{n-1}{u}_{n+1}=(-1{)}^{n}u\_n^2-u\_\{n-1\}u\_\{n+1\}=(-1)^n$. La différence vaut donc +1 lorsque n est pair et −1 lorsque n est impair. Sa valeur absolue reste toujours égale à 1.

Avec la convention standard F₀ = 0 et F₁ = 1, on a u_n = F_n+1. La même identité prend alors la forme $F_n^2-F_{n-1}{F}_{n+1}=(-1{)}^{n+1}F\_n^2-F\_\{n-1\}F\_\{n+1\}=(-1)^\{n+1\}$. L’écart d’un exposant vient uniquement du décalage des indices.

Soit la suite de Fibonacci définie par u₀ = u₁ = 1, puis par l’addition des deux termes précédents. Pour tout entier n ≥ 1, les trois termes de rangs n − 1, n et n + 1 vérifient :

Le membre de gauche compare le carré du terme central au produit de ses voisins. Le résultat vaut +1 aux rangs pairs et −1 aux rangs impairs.

L’identité s’applique à trois termes consécutifs d’une même suite de Fibonacci. Il faut connaître leur rang et la convention d’indexation, car ce choix fixe le signe. Avec u₀ = u₁ = 1, le rang central doit être au moins égal à 1 afin que son prédécesseur existe.

Le calcul doit porter sur les valeurs exactes des termes. Trois nombres quelconques ne conviennent pas : pour 2, 4 et 6, le carré central vaut 16 et le produit des voisins 12, donc l’écart vaut 4. Dans ce contre-cas, il faut calculer directement la différence au lieu d’appliquer l’identité de Cassini.

On utilise la convention u₀ = u₁ = 1. Les données sont le rang central n = 4 et les trois termes consécutifs u₃ = 3, u₄ = 5 et u₅ = 8.

1. Le carré du terme central vaut 5² = 25.
2. Le produit des deux voisins vaut 3 × 8 = 24.
3. Leur différence vaut 25 − 24 = 1.
4. Comme le rang 4 est pair, (−1)⁴ = 1. Les deux membres sont donc égaux.

Un contrôle refaisable consiste à avancer d’un rang. Pour 5, 8 et 13, on obtient 8² − 5 × 13 = 64 − 65 = −1, ce qui correspond bien au rang impair n = 5.

Pour contrôler une liste de termes de Fibonacci, on choisit trois valeurs consécutives et on compare le carré de celle du milieu au produit des deux autres. Si l’écart n’est pas +1 ou −1, une valeur ou un rang est probablement erroné. Pour produire les termes manquants, la relation d’addition reste l’outil adapté.

Pour retrouver le produit des voisins à partir du terme central et de son rang, on réarrange l’identité. Elle donne ce produit exactement, mais pas chacun des deux voisins séparément. Si leurs valeurs individuelles sont nécessaires, il faut revenir à la récurrence de Fibonacci.

Pour diagnostiquer un résultat inattendu, on observe le signe obtenu. Une valeur absolue égale à 1 avec le signe opposé invite à vérifier la convention d’indexation, mais ne suffit pas à conclure à un décalage : il faut aussi contrôler le rang, les valeurs et le trio choisis.

La relation de Simson ne doit pas être confondue avec la droite de Simson, qui appartient à la géométrie. Un calcul sur 3, 5 et 8 relève de l’identité de Cassini ; un problème de points et de droites relève de la notion géométrique.

Elle se distingue aussi de la relation de récurrence qui définit la suite de Fibonacci. L’addition 3 + 5 = 8 construit le terme suivant ; l’égalité 5² − 3 × 8 = 1 contrôle une propriété du trio déjà obtenu.

Le signe dépend de l’origine des indices. Avec u₀ = u₁ = 1, l’exposant est n. Avec F₀ = 0 et F₁ = 1, il devient n + 1. Si tous les calculs donnent le signe opposé, il faut vérifier la convention avant de conclure à une erreur.

Au rang charnière n = 1, la formule exige déjà le terme de rang 0. Une présentation qui commence à u₁ sans préciser de prédécesseur ne permet donc pas d’appliquer directement l’écriture donnée ; il faut d’abord fixer l’indexation.

Dire seulement que l’écart vaut 1 fait perdre l’alternance du signe. Il faut conserver la différence orientée, carré central moins produit des voisins. Avec de grandes valeurs approchées, les arrondis peuvent aussi masquer l’écart exact ; un calcul en entiers est alors préférable.

La suite de Fibonacci replace l’identité dans la récurrence qui produit les termes et permet de suivre les mêmes trios rang après rang.

La droite de Simson éclaire l’autre notion mathématique portant le même nom et permet de les distinguer par leur domaine.