Riccati Jacopo
Jacopo Francesco Riccati est un physicien et mathématicien italien dont les recherches relient la modélisation aux équations différentielles. Il a cherché à ramener certaines équations du second ordre au premier et travaillé sur la séparation des variables. Son nom désigne une famille d'équations du premier ordre qui combine, avec des coefficients dépendant de la variable indépendante, des termes constant, linéaire et quadratique en la fonction inconnue ; elle est non linéaire si le coefficient quadratique n'est pas identiquement nul.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Jacopo Riccati, ses domaines de recherche et ses travaux appliqués à Venise.
- Relier ses recherches à la réduction d'équations différentielles et à la séparation des variables.
- Lire la forme usuelle de l'équation de Riccati et vérifier un exemple simple.
- Distinguer Jacopo de son fils Vincenzo.
En clair
Au cours de sa vie, de 1676 à 1754, Jacopo Francesco Riccati étudie des problèmes concrets, notamment ceux des canaux de Venise. Pour décrire l'évolution d'un phénomène physique, il s'intéresse aux équations différentielles, qui relient une grandeur à ses variations.
Ses recherches l'amènent à simplifier certaines équations du second ordre en équations du premier ordre et à séparer des variables. Son nom demeure attaché à une famille d'équations où la grandeur inconnue intervient aussi au carré.
Définition
Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) est un physicien et mathématicien italien. Ses travaux relient des questions appliquées d'hydraulique et d'acoustique à l'étude mathématique des équations différentielles. Ses recherches sur les canaux de Venise et sur la modélisation de phénomènes physiques le conduisent notamment vers des équations du second ordre.
Il recherche des méthodes pour ramener certaines de ces équations au premier ordre et travaille sur la séparation des variables. Son nom est aujourd'hui associé à l'équation de Riccati. Si x désigne la variable indépendante, y la fonction inconnue, et P, Q et R trois fonctions de x, sa forme usuelle est :
Le terme en y2 rend généralement l'équation non linéaire. Après sa mort, ses fils Vincenzo et Giordano publient son œuvre mathématique à partir de 1764 sous le titre Opere del conte Jacopo Riccati.
Un exemple, pas à pas
Considérons un cas très simple de l'équation associée à Riccati. La variable indépendante est x, la fonction inconnue est y, et sa valeur initiale vaut 1 lorsque x vaut 0. Les fonctions coefficients sont P(x) = 0, Q(x) = 0 et R(x) = 1.
1. L'équation devient .
2. Tant que y n'est pas nul, les variables se séparent : . Une intégration donne , où C est une constante.
3. La condition y(0) = 1 impose C = −1. On obtient donc , pour x différent de 1. La courbe permet de suivre la croissance de cette solution sur l'intervalle représenté.
4. Le contrôle se fait par dérivation : , et la valeur initiale est bien y(0) = 1. À x = 0,5, le calcul donne exactement y = 2.
En pratique
Dans l'histoire des mathématiques, le nom de Jacopo Riccati relie une recherche issue de problèmes physiques à une famille d'équations différentielles. Ce contexte évite de réduire son travail à une simple étiquette.
Devant une équation du premier ordre, on vérifie que tout le second membre est formé de termes constant, linéaire et quadratique en la fonction inconnue, dont les coefficients dépendent seulement de x. Il s'écrit alors P(x) + Q(x)y + R(x)y2 : c'est la forme usuelle de Riccati.
Dans certains cas simples, comme y′ = y2, la séparation des variables suffit. Si les variables ne se séparent pas, ce calcul particulier ne s'applique pas tel quel : il faut examiner la structure précise des coefficients.
À ne pas confondre
Jacopo Riccati et Vincenzo Riccati. Jacopo (1676–1754) est le père auquel l'équation de Riccati doit son nom. Vincenzo est son fils mathématicien et l'un des éditeurs posthumes de son œuvre. Une mention de l'Opere del conte Jacopo Riccati renvoie donc à l'œuvre de Jacopo, même si Vincenzo a participé à sa publication.
Le mathématicien et l'équation. « Riccati » peut désigner une personne ou l'équation différentielle qui porte son nom. Les dates, les canaux de Venise et l'ouvrage posthume concernent Jacopo ; la forme P(x) + Q(x)y + R(x)y2 concerne l'équation.
Limites et pièges
La forme de Riccati est non linéaire lorsque le coefficient R n'est pas identiquement nul sur le domaine étudié. Si R vaut partout zéro, le terme quadratique disparaît et l'équation devient linéaire ; il faut alors la traiter comme telle.
La séparation des variables utilisée dans l'exemple n'est pas une procédure automatique pour toute équation de Riccati. Le symptôme d'échec est que les termes en x et en y ne peuvent pas être placés de part et d'autre de l'égalité ; il faut alors chercher une autre transformation adaptée aux coefficients.
Une formule peut cesser d'être définie même si l'équation conserve un sens local. Dans l'exemple, n'existe pas pour x = 1 : la solution issue de y(0) = 1 ne traverse donc pas cette valeur.
Pour aller plus loin
La fiche Riccati Vincenzo prolonge le portrait familial et aide à distinguer le fils mathématicien de Jacopo.
La fiche Différentielle précise l'objet mathématique utilisé pour exprimer une variation et replacer l'équation de Riccati dans son contexte analytique.
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