Les surfaces de notre espace maîtrisées
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Parmi les surfaces fermées (notamment bornées et « sans bord ») et connexes (c’est-à-dire constituées « d’un seul morceau »), on connaît celles qui sont homéomorphes à la sphère (qui peuvent se déformer en une sphère si on les imagine faites d’une matière souple). Ce sont les surfaces qui, en plus, sont simplement connexes : sur elles, tout lacet, c’est-à-dire toute courbe fermée ne se croisant pas, peut se contracter jusqu’à obtenir un point (voir l'article Polyèdres : de la formule d'Euler à la caractérisation de Poincaré).
C’est le cas d’un ellipsoïde de révolution ou d’une bulle de savon ballottée dans les airs. Mais ce n’est pas le cas avec le tore (la surface d’une bouée ou d’un beignet) : sur le tore, certains lacets ne peuvent pas se contracter en un point. Le tore n’est donc pas homéomorphe à la sphère.
Et dans un espace de dimension 4 ? La question de Poincaré
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