E se fosse falso?

I triangoli sferici -------------------

Il teorema di Pitagora è vero nel piano: è facile convincersene. Ma mettiamoci nei panni di un navigatore che attraversa oceani perfettamente calmi. Il cammino più breve per collegare due punti del globo non è una retta, bensì un arco di cerchio con lo stesso centro della sfera (il cui raggio può essere fissato a un’unità per semplificare). Queste geodetiche permettono di costruire triangoli sferici, e alcune formule consentono di determinarne le lunghezze dei lati. Ma ecco la sorpresa! L’uguaglianza di Pitagora non è verificata (vedi Tangente 151, 2013): si possono costruire triangoli (sferici) equilateri con tre angoli retti. Dunque il teorema di Pitagora, un risultato elementare? Per fortuna ne esiste una versione sferica: se ABC è rettangolo in C, allora

\cos{\overset{\frown}{BC}}=\cos{\overset{\frown}{AB}}\times \cos{\overset{\frown}{AC}}.

Una caratterizzazione delle geometrie ------------------------------------

I triangoli rettangoli dicono molto sullo spazio in cui lavoriamo. Si può dimostrare che il teorema di Pitagora è in realtà equivalente al celebre assioma delle parallele, caratteristico della geometria euclidea, secondo cui per un punto dato passa una sola retta parallela a una retta data. Se si suppone che per un punto dato passi non una sola retta, ma più rette parallele a una retta data, allora l’uguaglianza del teorema di Pitagora diventa AB² > AC² + BC². Osserviamo ora i cerchi massimi della sfera (quelli che hanno lo stesso diametro della sfera). Si intersecano tutti. Nella geometria sferica, dunque, per un punto non passa alcuna retta parallela a una retta data. Qui l’uguaglianza di Pitagora diventa AB² < AC² + BC². Il verso della disuguaglianza è in realtà legato alla geometria impiegata e, in particolare, alla sua curvatura. L’uguaglianza vale soltanto nel caso di una geometria a curvatura nulla, come il piano. Un’analisi accurata delle formule che sostituiscono quella di Pitagora nelle geometrie sferica e iperbolica mostra tuttavia che, localmente, per triangoli «piccoli», l’uguaglianza è quasi soddisfatta: queste geometrie sono allora ben approssimate dalla geometria euclidea.

I triangoli iperbolici ----------------------

Il procedimento seguito sulla sfera si adatta ad altre superfici. Consideriamo così lo spazio di Minkowski, molto utile nella relatività ristretta. Qui ci muoviamo su una falda dell'iperboloide (una superficie di rivoluzione ottenuta ruotando un ramo di iperbole), sulla quale vale una formula per calcolare le distanze.

Anche in questo contesto si possono disegnare triangoli rettangoli… ma il teorema di Pitagora non è più vero! Anche qui si ottiene anche un bel risultato, che del resto ricorda quello della geometria sferica: se ABC è rettangolo in C, allora