Los triángulos esféricos ------------------------
El teorema de Pitágoras es cierto en el plano, y resulta fácil convencerse de ello. Pero pongámonos en la piel de un navegante que atraviesa océanos perfectamente tranquilos. El camino más corto para unir dos puntos del globo no es una línea recta, sino un arco de circunferencia con el mismo centro que la esfera (cuyo radio podemos fijar en una unidad para simplificar). Estos arcos permiten construir triángulos esféricos, y algunas fórmulas permiten determinar las longitudes de sus lados. Pero, ¡sorpresa! La igualdad de Pitágoras no se cumple (véase Tangente 151, 2013): se pueden construir triángulos esféricos equiláteros con tres ángulos rectos. ¿Es entonces el teorema de Pitágoras el puente de los asnos? Por suerte, existe una versión esférica: si ABC es rectángulo en C, entonces
cos⁡=cos⁡×cos⁡.\cos{\overset{\frown}{BC}}=\cos{\overset{\frown}{AB}}\times \cos{\overset{\frown}{AC}}.
Una caracterización de las geometrías ----------------------------------
Los triángulos rectángulos revelan mucho acerca del espacio en el que trabajamos. Puede demostrarse que el teorema de Pitágoras equivale, en realidad, al célebre axioma de las paralelas, característico de la geometría euclidiana, que establece que por un punto dado solo pasa una recta paralela a una recta dada. Si suponemos que por un punto dado no pasa una sola recta, sino más de una recta paralela a una recta dada, entonces la igualdad del teorema de Pitágoras pasa a ser AB2 > AC2 + BC2. Observemos ahora los círculos máximos de la esfera (los que tienen el mismo diámetro que la esfera). Todos se cortan entre sí. Por tanto, en geometría esférica no pasa por un punto ninguna recta paralela a una recta dada. Aquí, la igualdad de Pitágoras pasa a ser AB2 < AC2 + BC2. El sentido de la desigualdad está ligado, en realidad, a la geometría utilizada y, en particular, a su curvatura. La igualdad solo se da en el caso de una geometría de curvatura nula, como el plano. Sin embargo, un análisis detallado de las fórmulas que sustituyen a la de Pitágoras en las geometrías esférica e hiperbólica muestra que, localmente, para triángulos «pequeños», la igualdad casi se cumple: estas geometrías quedan entonces bien aproximadas por la geometría euclidiana.
Los triángulos hiperbólicos ---------------------------
El procedimiento seguido en la esfera se adapta a otras superficies. Consideremos así el espacio de Minkowski, muy útil en relatividad especial. Aquí nos movemos sobre una hoja de hiperboloide (una superficie de revolución obtenida al girar una rama de hipérbola), en la que contamos con cierta fórmula para calcular las distancias.
También en este marco podemos dibujar triángulos rectángulos… ¡pero el teorema de Pitágoras ya no es cierto! También aquí contamos con un bello resultado, que además recuerda al de la geometría esférica: si ABC es rectángulo en C, entonces
cosh⁡=cosh⁡×cosh⁡,\cosh{\overset{\frown}{BC}}=\cosh{\overset{\frown}{AB}}\times \cosh{\overset{\frown}{AC}},
donde cosh es la función coseno hiperbólico, definida por
cosh⁡x=12(ex+e−x).\cosh{x}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).