I logaritmi: tutto un vocabolario

La derivata logaritmica ------------------------

Calcolare la derivata del logaritmo naturale di una funzione f derivabile a valori strettamente positivi può talvolta semplificare alcuni calcoli. Questa nuova derivata ha un nome: è la derivata logaritmica; è formalmente definita da L( f ) = f ‘ / f.

Essa soddisfa proprietà notevoli: se g è un’altra funzione derivabile a valori strettamente positivi, allora

• $L(fg)=(fg{)}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}(fg)=(f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}f)+(g^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}g)=L(f)+L(g),L(\; f\backslash ,g)\; =\; (\; f\backslash ,g)\text{'}\; /\; (\; f\backslash ,g\backslash ,)\; =\; (\; f\; \text{'}/\; f\; )\; +\; (g\text{'}\; /\; g)\; =\; L(\; f\; )\; +\; L(g),$

• $L(f\mathrm{/}g)=(f\mathrm{/}g{)}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}(f\mathrm{/}g)=\frac{g\times f^{\mathrm{\prime }}-f\times g^{\mathrm{\prime }}}{f\times g}=L(f)-L(g)L(\; f\; /\; g)\; =\; (\; f\; /\; g)\text{'}\; /\; (\; f\; /\; g)\; =\; \backslash frac\{g\; \backslash times\; f\text{'}\; -\; f\; \backslash times\; g\text{'}\}\{f\; \backslash times\; g\}\; =\; L(f)-L(g)$

• se α > 0 è un esponente reale, L(f ^α) = (f ^α f ') / f ^α = α L(f), relazioni funzionali che richiamano evidentemente le proprietà del logaritmo…

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La spirale logaritmica ------------------------

La spirale logaritmica, che si incontra così spesso in natura, nei gusci delle conchiglie, nel cuore dei fiori di girasole o nella forma delle galassie, è una curva piana di equazione polare r = ae^{m θ}, dove a è un numero reale positivo e m un numero reale non nullo. È la traiettoria di un punto M che si muove lungo una retta passante per O a velocità proporzionale a OM, mentre la retta ruota attorno a O a velocità costante. Studiata da Cartesio e Torricelli, fu persino oggetto di un’opera intera di Jacques Bernoulli nel 1691: egli la chiamava «spira mirabilis» e ne fece incidere una sulla propria tomba. Secondo lui, questa curva possedeva tante proprietà di invarianza da meritare la massima «Eadem mutata resurgo» («Rinasco identica»).

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È vero che questa curva interseca, per esempio, tutti i suoi raggi vettori sotto lo stesso angolo ed è invariante per una similitudine di angolo θ ₀ e rapporto e ^{m θ₀} . Peccato che lo scultore abbia inciso una spirale di Archimede (di equazione polare r = k θ)…

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Le scale logaritmiche nelle scienze --------------------------------------

Per graduare una retta D, si può usare una scala lineare che, fissata un’origine O, associa a ogni punto M di D il numero reale t, la sua ascissa, proporzionale alla distanza OM. In questo caso, due tacche corrispondenti a valori la cui differenza è costante si trovano a distanza costante.

Si può anche, soprattutto quando i valori coprono un intervallo molto ampio, definire una scala logaritmica che associa a ogni punto M di D il numero reale t tale che il logaritmo di t (in una base qualsiasi, ma spesso si sceglie la base 10, dunque il logaritmo decimale) sia proporzionale alla distanza OM. In questo caso, due tacche corrispondenti a valori il cui rapporto è costante si trovano a distanza costante.

Per un sistema di riferimento piano, si può anche graduare uno degli assi secondo una scala lineare e l’altro secondo una scala logaritmica: si ottiene così una scala semilogaritmica. In questo modo, tassi di crescita identici sono rappresentati da segmenti con la stessa inclinazione rispetto all’asse delle ascisse.

Le scale logaritmiche sono onnipresenti nelle scienze. Il pH in chimica è definito da –log C, dove C rappresenta la concentrazione di ioni H₃O⁺ di una soluzione. In acustica, il livello sonoro S, misurato in decibel, è uguale a 10 log(I/I₀), dove I è l’intensità sonora e I₀ un’intensità di riferimento, quella della soglia di udibilità dell’orecchio umano. La celebre «scala Richter», introdotta nel 1935 in sismologia e descrivente la magnitudo M di un terremoto, si esprime in modo analogo: M = log(I/I₀), dove I è l’intensità del sisma studiato e I₀ un’intensità di riferimento. Anche la magnitudine M delle stelle in astronomia, uguale a log(E/E₀), dove E è la luminosità dell’astro studiato e E₀ una luminosità di riferimento, è un esempio comune di scala logaritmica.