Los logaritmos: todo un vocabulario

La derivada logarítmica ------------------------

Derivar el logaritmo neperiano de una función f derivable con valores estrictamente positivos puede a veces simplificar algunos cálculos. Esta nueva derivada tiene un nombre: es la derivada logarítmica; se define formalmente por L( f ) = f ‘ / f.

Presenta propiedades notables: si g es otra función derivable con valores estrictamente positivos, entonces

• $L(fg)=(fg{)}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}(fg)=(f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}f)+(g^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}g)=L(f)+L(g),L(\; f\backslash ,g)\; =\; (\; f\backslash ,g)\text{'}\; /\; (\; f\backslash ,g\backslash ,)\; =\; (\; f\; \text{'}/\; f\; )\; +\; (g\text{'}\; /\; g)\; =\; L(\; f\; )\; +\; L(g),$

• $L(f\mathrm{/}g)=(f\mathrm{/}g{)}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}(f\mathrm{/}g)=\frac{g\times f^{\mathrm{\prime }}-f\times g^{\mathrm{\prime }}}{f\times g}=L(f)-L(g)L(\; f\; /\; g)\; =\; (\; f\; /\; g)\text{'}\; /\; (\; f\; /\; g)\; =\; \backslash frac\{g\; \backslash times\; f\text{'}\; -\; f\; \backslash times\; g\text{'}\}\{f\; \backslash times\; g\}\; =\; L(f)-L(g)$

• si α > 0 es un exponente real, L(f ^α) = (f ^α f ') / f ^α = α L(f), relaciones funcionales que, evidentemente, recuerdan las propiedades del logaritmo…

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La espiral logarítmica ------------------------

La espiral logarítmica, que encontramos tan a menudo en la naturaleza, en las conchas de los moluscos, en el corazón de las flores de girasol o en la forma de las galaxias, es una curva plana de ecuación polar r = ae^{m θ}, donde a es un número real positivo y m un número real no nulo. Es la trayectoria de un punto M que se desplaza sobre una recta que pasa por O con una velocidad proporcional a OM, mientras la recta gira alrededor de O a velocidad constante. Estudiada por Descartes y Torricelli, fue incluso objeto de una obra completa de Jacques Bernoulli en 1691, quien la llamó «spira mirabilis» e hizo grabar una en su tumba. Según él, esta curva poseía tantas propiedades de invariancia que merecía el lema «Eadem mutata resurgo» («Renazco idéntica»).

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Es cierto que esta curva corta, por ejemplo, todos sus radios vectores con un mismo ángulo y que es invariante bajo una semejanza de ángulo θ ₀ y razón e ^{m θ₀} . Lástima que el escultor grabara una espiral de Arquímedes (de ecuación polar r = k θ)…

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Las escalas logarítmicas en ciencia --------------------------------------

Para graduar una recta D, podemos emplear una escala lineal que, una vez elegido un origen O, asocia a cada punto M de D el número real t, su abscisa, proporcional a la distancia OM. En este caso, dos graduaciones cuyas diferencias son iguales están a distancia constante.

También se puede, sobre todo cuando el intervalo de valores es amplio, definir una escala logarítmica que asocia a cada punto M de D el número real t tal que el logaritmo de t (en una base cualquiera, aunque a menudo se elige la base 10, es decir, el logaritmo decimal) sea proporcional a la distancia OM. En este caso, dos graduaciones cuyos cocientes son iguales están a distancia constante.

En un sistema de coordenadas plano, también se puede graduar uno de los ejes según una escala lineal y el otro según una escala logarítmica: obtenemos entonces una escala semilogarítmica. Así, tasas de crecimiento iguales se representan mediante segmentos con la misma inclinación respecto del eje de abscisas.

Las escalas logarítmicas son omnipresentes en las ciencias. El pH en química se define por –log C, donde C representa la concentración de iones H₃O⁺ de una solución. En acústica, el nivel sonoro S, medido en decibelios, es igual a 10 log(I/I₀), donde I es la intensidad sonora e I₀ una intensidad de referencia, la del umbral de audición del oído humano. La célebre «escala de Richter», introducida en 1935 en sismología y que describe la magnitud M de un terremoto, se expresa de forma similar: M = log(I/I₀), donde I es la intensidad del seísmo estudiado e I₀ una intensidad de referencia. La magnitud M de las estrellas en astronomía, igual a log(E/E₀), donde E es el brillo del astro estudiado y E₀ un brillo de referencia, es también un ejemplo habitual de escala logarítmica.