Questo quadro del 1895 raffigura una classe in Russia alla fine del 19º secolo, quale la conobbe il suo autore, Nikolaj Bogdanov-Belskij. Vi mette in scena il proprio maestro, Sergej Aleksandrovič Ratchinski, che propone agli alunni un esercizio di calcolo mentale: calcolare la frazione
Un buon espediente per risolvere questo problema consiste nel riscrivere il numeratore N nella forma più simmetrica
N = (12 – 2)2 + (12 – 1)2 + 122 + (12 + 1)2 + (12 + 2)2,
poi
N = [(12 – 2)2 + (12 + 2)2] + [(12 – 1)2 + (12 + 1)2] + 122.
Usando l’identità notevole (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2),
si ottiene allora N = 2(122 + 22) + 2(122 + 12) + 122 = 5 × 122 + 2(12 + 22) = 730,
e dunque R = 2.
Calcolo mentale. Nella scuola popolare di S. A. Ratchinski,
di Nikolaj Bogdanov-Belskij, 1895 (Galleria Tret’jakov, Mosca).
Sergej Aleksandrovič Ratchinski (1833-1902)
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Prima di diventare maestro in questa scuola rurale, fu botanico, matematico e primo traduttore russo di Darwin; poi tornò al suo villaggio natale per fondarvi delle scuole.
Per quindici anni sviluppò un metodo didattico personale fondato sulla creatività. Ogni sera allenava i suoi alunni nel calcolo mentale, improvvisando problemi di difficoltà crescente e alternandoli ad altri più facili per incoraggiare « gli allievi più deboli ». Era convinto che soltanto la sua creatività continua e il suo costante lavoro mentale potessero suscitare nei suoi alunni un analogo lavoro intellettuale.
Per aiutare i colleghi delle scuole rurali meno inclini alla creatività nel calcolo per « scarsa dimestichezza con le cifre », pubblicò nel 1899 1001 problemi di calcolo mentale. Vi riprendeva problemi della vita quotidiana proposti ai suoi alunni sulle conversioni delle unità di lunghezza, superficie e massa, sui costi d’acquisto dei prodotti di uso quotidiano (fra cui tabacco e vodka, mettendo talvolta in guardia i bambini dai pericoli di un consumo troppo precoce). Non esagerava i meriti del calcolo mentale, ma lo considerava un’attività utile sul piano pratico e una sana ginnastica intellettuale.
Le successioni di Ratchinski
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Per Ratchinski, la conoscenza semplice ma profonda dei primi mille numeri era una fonte inesauribile di problemi.
Bisognava dunque sapere che 365 = 5 × 73, ma anche che 365 = 5 × (80 + 81 + 82 ),
oppure ancora che 102 + 112 + 122 = 132 + 142 = (172 + 212)/2.
Queste relazioni sono casi particolari di successioni che scoprì interessandosi alla regolarità della somma dei quadrati.
Dato un numero intero k, basta prendere *nk = 2k(k + 1) affinché la somma Σk di nk*2 e dei quadrati dei k numeri che lo precedono sia uguale alla somma dei quadrati dei k numeri che lo seguono. Inoltre, questo numero *nk è allora il quadruplo del numero triangolare Tk (somma dei primi k numeri interi, anch’essa uguale a k (k* + 1)/2).
Si può anche dimostrare l’uguaglianza Σ*k* = σ2(24 σ1 + 1), nella quale σ*p è la somma delle potenze p-esime dei numeri da 1 a k*.
Un alunno che conosceva queste proprietà poteva dare istantaneamente la risposta al problema scritto alla lavagna, che corrisponde al caso k = 2.
