Este cuadro de 1895 representa una clase en Rusia a finales del 19.º siglo, tal como la conoció su autor, Nikolái Bogdánov-Belski. En él retrata a su propio maestro, Serguéi Aleksándrovich Ratchinski, mientras propone a sus alumnos un ejercicio de cálculo mental: calcular la fracción
Un buen truco para resolver este problema consiste en reescribir el numerador N de una forma más simétrica
N = (12 – 2)2 + (12 – 1)2 + 122 + (12 + 1)2 + (12 + 2)2,
y luego
N = [(12 – 2)2 + (12 + 2)2] + [(12 – 1)2 + (12 + 1)2] + 122.
Con la identidad notable (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2),
se obtiene entonces que N = 2(122 + 22) + 2(122 + 12) + 122 = 5 × 122 + 2(12 + 22) = 730,
y, por tanto, R = 2.
Cálculo mental. En la escuela popular de S. A. Ratchinski,
de Nikolái Bogdánov-Belski, 1895 (Galería Tretiakov, Moscú).
Serguéi Aleksándrovich Ratchinski (1833-1902)
-------------------------------------------------
Antes de ser maestro de esta escuela rural, fue botánico, matemático y primer traductor ruso de Darwin, hasta que regresó a su aldea natal para crear allí escuelas.
Desarrolló durante quince años un método de enseñanza propio basado en la creatividad. Todas las noches ejercitaba a sus alumnos en el cálculo mental improvisando problemas de dificultad creciente y alternándolos con otros más fáciles para animar a «los discípulos más débiles». Estaba convencido de que solo su creatividad permanente y su trabajo mental constante podían suscitar en sus alumnos una labor intelectual similar.
Para ayudar a sus colegas de las escuelas rurales, menos inclinados a la creatividad en el cálculo por «falta de familiaridad con las cifras», publicó en 1899 1001 problemas de cálculo mental. En él recogía problemas de la vida cotidiana que planteaba a sus alumnos sobre conversiones de unidades de longitud, superficie y masa, y sobre los precios de productos cotidianos —entre ellos, el tabaco y el vodka—, advirtiendo de paso a los niños de los peligros de un consumo demasiado precoz. No exageraba las virtudes del cálculo mental, pero lo consideraba una actividad útil desde el punto de vista práctico y una sana gimnasia intelectual.
Las sucesiones de Ratchinski
-------------------------------
Para Ratchinski, el conocimiento, sencillo pero profundo, de los primeros mil números era una fuente inagotable de problemas.
Por tanto, era preciso saber que 365 = 5 × 73, pero también que 365 = 5 × (80 + 81 + 82 ),
o también que 102 + 112 + 122 = 132 + 142 = (172 + 212)/2.
Estas relaciones son casos particulares de sucesiones que descubrió al interesarse por la regularidad de la suma de cuadrados.
Dado un número entero k, basta tomar *nk = 2k(k + 1) para que la suma Σk de nk*2 y de los cuadrados de los k números que lo preceden sea igual a la suma de los cuadrados de los k números que lo siguen. Además, este número *nk es entonces el cuádruple del número triangular Tk (suma de los k primeros números enteros, que también es igual a k (k* + 1)/2).
También puede demostrarse la igualdad Σ*k* = σ2(24 σ1 + 1), en la que σ*p es la suma de las potencias p-ésimas de los números del 1 al k*.
Un alumno que conociera estas propiedades podía dar instantáneamente la respuesta al problema planteado en la pizarra, que corresponde al caso k = 2.
