Al-Gauhari

Dans la première moitié du IX^e siècle, Al-Gauhari travaille à Bagdad et à Damas. Ce mathématicien arabe, né à Jawhar dans l'actuel Kazakhstan, étudie les Éléments d'Euclide et leur cinquième postulat.

Ses quatre commentaires cherchent notamment des preuves de ce postulat. Son nom est aussi attaché à un énoncé concret : dans un triangle rectangle, le segment joignant l'angle droit au milieu de l'hypoténuse mesure la moitié de celle-ci.

Al-Gauhari, également nommé Al-Jawhari, est un mathématicien arabe de la première moitié du IX^e siècle. Il naît à Jawhar, dans l'actuel Kazakhstan, puis travaille à Bagdad et à Damas. Il est l'auteur de quatre ouvrages qui commentent les Éléments d'Euclide.

Une partie de son travail porte sur le cinquième postulat d'Euclide, dont il cherche des preuves. Cette démarche appartient à l'histoire des tentatives visant à déduire ce postulat, et non à l'énoncé d'une preuve donnée dans la source de cette fiche.

Un autre énoncé lui est attribué. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. La médiane relative à ce côté relie l'angle droit au milieu de l'hypoténuse. Sa longueur est égale à la moitié de celle de l'hypoténuse. Cette propriété exige bien un triangle rectangle et le milieu exact du côté opposé.

Considérons le triangle ABC rectangle en A. Le côté AB mesure 6 unités, le côté AC mesure 8 unités et l'hypoténuse BC mesure 10 unités. Le point M est le milieu de BC. Il faut contrôler la longueur de la médiane AM.

1. Plaçons A au point de coordonnées (0 ; 0), B au point (6 ; 0) et C au point (0 ; 8). Le segment BC a alors pour longueur √(6² + 8²) = √100 = 10.

2. Comme M est le milieu de BC, ses coordonnées sont ((6 + 0) / 2 ; (0 + 8) / 2), soit (3 ; 4).

3. La distance de A à M vaut √(3² + 4²) = √25 = 5 unités. Or la moitié de BC vaut 10 / 2 = 5 unités : l'égalité annoncée est vérifiée.

Le contrôle peut être refait en calculant BM et CM. Ces deux distances valent aussi 5 unités ; A, B et C sont donc à la même distance du milieu M de l'hypoténuse. La figure rend visibles ces trois segments égaux.

Pour identifier Al-Gauhari dans une source historique, on rapproche trois marqueurs : la première moitié du IX^e siècle, les commentaires des Éléments et la recherche sur le cinquième postulat. Si le texte parle d'un dictionnaire arabe, il faut plutôt envisager l'autre al-Jauhari.

En géométrie, l'énoncé associé à Al-Gauhari offre un contrôle rapide. Une fois l'angle droit et le milieu de l'hypoténuse établis, on compare la médiane à la demi-hypoténuse. Sans angle droit, une formule générale de longueur d'une médiane est nécessaire.

Ismaïl ibn Hammad al-Jauhari. Ce grammairien du XI^e siècle est l'auteur du dictionnaire al-Sihah fi al-Lugha, qui servit de source au dictionnaire bilingue arabe-latin de Jacob Golius en 1653. Un texte consacré au vocabulaire arabe ou à ce dictionnaire renvoie à ce grammairien, tandis que les Éléments, le cinquième postulat et la propriété du triangle rectangle renvoient au mathématicien Al-Gauhari.

Une graphie ne suffit pas à identifier la personne. Les formes Al-Gauhari et Al-Jawhari désignent ici le mathématicien, mais la forme al-Jauhari apparaît aussi dans le nom du grammairien. Il faut contrôler l'époque, le domaine et les ouvrages mentionnés.

La datation reste large. La source situe Al-Gauhari dans la première moitié du IX^e siècle ; elle ne donne aucune année précise. Une chronologie plus fine ne doit donc pas être déduite de cette seule indication.

La propriété géométrique a deux conditions. Le triangle doit être rectangle et le point choisi doit être le milieu exact de l'hypoténuse. Si l'une manque, l'égalité avec la demi-hypoténuse n'est plus garantie ; il faut alors calculer la longueur de la médiane dans le cadre général.

Euclide situe l'auteur des Éléments au cœur du travail commenté par Al-Gauhari.

Les Éléments d'Euclide, entre art et science prolonge la lecture autour de l'ouvrage auquel Al-Gauhari consacra quatre commentaires.

L'adoption des géométries non euclidiennes replace les recherches sur le cinquième postulat dans un prolongement historique plus vaste.

Hypoténuse précise le côté auquel se rapporte la médiane dans l'énoncé attribué à Al-Gauhari.