arbre pythagoricien

Imaginez un carré dressé comme un tronc. Sur son côté supérieur, posez un triangle rectangle, puis construisez un carré sur chacun des deux autres côtés. Recommencez la même opération sur les deux nouveaux carrés : la silhouette se ramifie comme un arbre.

Avec un triangle rectangle isocèle, chaque génération compte deux fois plus de carrés, chacun deux fois plus petit en aire. Les aires ajoutées totalisent donc toujours 1, mais les carrés finissent par se chevaucher.

Un arbre pythagoricien, ou arbre de Pythagore, est une fractale géométrique déterministe. Sa construction part d'un carré et d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est un côté de ce carré. Les deux carrés élevés extérieurement sur les cathètes du triangle deviennent les bases de deux copies réduites de la même configuration. La règle est ensuite répétée sur chaque nouveau carré.

Dans le cas isocèle, prenons le carré initial de côté 1 et appelons n le numéro de la génération, avec n = 0 pour ce carré. La génération n contient 2ⁿ carrés. Le côté commun de ces carrés, noté s_n, et la somme de leurs aires, notée A_n, vérifient :

Cette égalité vient du théorème de Pythagore : les aires des deux carrés enfants totalisent l'aire du carré parent. Elle porte sur les aires comptées avec multiplicité, non sur l'aire de leur réunion lorsque des carrés se recouvrent. Malgré une infinité de générations, l'ensemble géométrique est borné ; dans cette normalisation, il tient dans un rectangle de dimensions 6 × 4. Avec un triangle rectangle non isocèle, les deux rapports de réduction diffèrent et l'arbre devient généralement asymétrique.

On construit les trois premières générations de l'arbre isocèle. Données : le carré initial a pour côté 1 ; le triangle est rectangle isocèle ; la génération initiale porte le numéro 0.

1. À la génération 0, il y a un carré de côté 1. Son aire vaut 1 unité d'aire.

2. À la génération 1, les deux cathètes du triangle ont pour longueur 1/√2. On obtient donc deux carrés d'aire 1/2 chacun, soit 1 unité d'aire au total.

3. À la génération 2, chaque côté est encore multiplié par 1/√2. Les quatre carrés ont donc pour côté 1/2 et pour aire 1/4. Leur aire totale vaut encore 4 × 1/4 = 1.

4. À la génération 3, les huit carrés ont pour côté 1/(2√2) et pour aire 1/8. Le total reste 8 × 1/8 = 1 unité d'aire.

Le contrôle se refait à toute génération n : 2ⁿ × (1/√2)²ⁿ = 2ⁿ × (1/2)ⁿ = 1. Jusqu'à la génération 3, on a tracé 1 + 2 + 4 + 8 = 15 carrés, sans en déduire que leur réunion a une aire égale à 4, car des recouvrements peuvent apparaître.

Pour une construction sur papier, on trace d'abord le carré de côté 1, puis le triangle rectangle isocèle et ses deux carrés extérieurs. Une équerre et une règle conviennent pour quelques générations ; un logiciel de géométrie devient préférable dès que les petits côtés sont difficiles à placer précisément.

Pour produire une figure numérique, on applique récursivement la même transformation aux deux côtés libres et on fixe une profondeur d'arrêt. Une boucle ordinaire suffit si l'on veut seulement compter les carrés ; la récursion est utile lorsque leurs positions et leurs orientations doivent aussi être conservées.

Pour étudier l'aire, il faut d'abord choisir la grandeur recherchée. La somme des aires par génération se calcule avec 2ⁿ carrés ; l'aire réellement couverte exige au contraire de tenir compte des chevauchements.

Le théorème de Pythagore. Il relie les aires des trois carrés construits sur les côtés d'un seul triangle rectangle. L'arbre pythagoricien utilise cette configuration comme règle d'itération. Une figure limitée à un triangle et trois carrés illustre le théorème ; une figure qui répète la construction et se ramifie est l'arbre.

Aires ajoutées et aire couverte. Chaque génération isocèle totalise 1 unité d'aire si tous ses carrés sont comptés séparément. Additionner ces totaux sur une infinité de générations diverge. Ce calcul ne mesure pas l'aire de la réunion : les recouvrements ne doivent y être comptés qu'une fois, et l'ensemble borné dans un rectangle 6 × 4 a une aire finie, au plus égale à 24.

Numérotation des générations. Ici, le carré initial correspond à n = 0, donc la génération n contient 2ⁿ carrés. Si une autre convention appelle ce carré « étape 1 », tous les indices sont décalés d'une unité. Il faut identifier le carré initial avant de comparer deux décomptes.

Triangle non isocèle. Les deux carrés enfants n'ont alors pas le même côté, même si la somme de leurs aires égale toujours celle du carré parent. Employer le facteur unique 1/√2 donnerait une figure erronée. Si l'une des cathètes est nulle, le triangle est dégénéré et la ramification en deux branches disparaît.

Le théorème de Pythagore expose l'identité géométrique qui conserve l'aire à chaque embranchement.

La fractale déterministe replace cet arbre parmi les figures engendrées par la répétition d'une règle fixe.