axe d'homologie

Imaginez qu'une transformation déplace les points d'une figure tout en laissant une droite entière immobile. Cette droite est l'axe d'homologie. Chaque point placé dessus reste exactement à sa place.

Hors de l'axe, un point et son image sont alignés avec un même point fixe, appelé centre. Pour construire l'image, on utilise cet alignement et un point d'appui pris sur l'axe. L'axe joue ainsi le rôle d'une ligne d'ancrage de la transformation.

Dans une homologie plane, le centre est un point O et l'axe est une droite notée (d). Tout point de (d) est fixe. Pour tout point M auquel la construction d'intersection s'applique directement, son image M′ appartient à la droite (OM).

Pour une homologie non identitaire, on suppose O∉(d), A≠A′, et A et A′ distincts de O et n'appartenant pas à l'axe ; les points O, A et A′ sont alignés. Dans le repère affine choisi, on demande en outre que (d) ne soit pas parallèle à (OA) lorsque l'intersection doit être finie. Pour construire M′, on forme le point I où (AM) coupe (d). La droite (IA′) coupe alors (OM) en M′. Ce mécanisme garantit que I reste fixe, puisqu'il appartient à l'axe.

L'expression « non parallèle » dépend du repère affine utilisé pour dessiner la situation. Dans le plan projectif, deux droites distinctes se rencontrent toujours, éventuellement en un point à l'infini. Le caractère essentiel de l'axe n'est donc pas son orientation sur la feuille, mais le fait que chacun de ses points soit invariant.

Dans un repère affine, prenons le centre O=(0,0), le point A=(1,0), son image A′=(2,0), l'axe (d) d'équation x+y=3 et le point M=(0,2). Les points O, A et A′ sont distincts et alignés, tandis que (d) n'est pas parallèle à (OA).

1. La droite (AM) passe par (1,0) et (0,2), donc son équation est 2x+y=2.

2. Le point I est l'intersection de (AM) et de l'axe (d). Le système donne I=(−1,4) :

3. La droite (IA′), passant par I=(−1,4) et A′=(2,0), a pour équation 4x+3y=8. La droite (OM) est donnée par x=0.

4. Leur intersection vérifie x=0 et 3y=8. On obtient donc M′=(0,8/3). Un tracé réunissant les quatre droites rend visibles les deux intersections successives de la construction.

Le contrôle se refait sans approximation : M′ est bien sur (OM), car son abscisse vaut 0, et sur (IA′), car 4×0+3×(8/3)=8.

Pour construire l'image d'un point hors de l'axe et de la droite (OA), tracez d'abord (AM) jusqu'à l'axe. Reliez ensuite le point d'intersection obtenu à A′, puis cherchez sa rencontre avec (OM).

Pour contrôler un tracé supposé représenter une homologie, vérifiez deux indices observables : les droites joignant chaque point à son image passent par le même centre, et les points de l'axe ne bougent pas. Si ces alignements échouent, il faut envisager une transformation projective plus générale.

Lorsque deux droites paraissent parallèles sur la feuille, la construction affine ne montre pas leur intersection. Il faut alors raisonner dans le plan projectif, où leur point commun peut être situé à l'infini, plutôt que prolonger arbitrairement le dessin.

Axe et centre d'homologie. L'axe est une droite dont tous les points sont fixes ; pour un point non fixe M, le centre est un point par lequel passe la droite joignant M à M′. Si M=M′, notamment lorsque M est sur l'axe, cette droite joignante n'est pas déterminée de manière unique. Dans l'exemple, l'axe a pour équation x+y=3, tandis que le centre est O=(0,0).

Homologie et homographie. Une homographie est une transformation projective générale. Pour reconnaître le cas particulier décrit ici, il faut trouver à la fois un centre commun aux droites (MM′) et une droite fixée point par point. Une seule droite globalement conservée, mais dont les points se déplacent, ne suffit pas.

Point M sur l'axe. Le résultat est immédiat : M′=M. Il est inutile d'appliquer toute la construction, car le caractère invariant de l'axe donne déjà l'image.

Point M sur la droite (OA). Les droites (OM) et (IA′) peuvent alors se confondre, si bien que leur « intersection » ne sélectionne pas un point unique. La formule d'intersection donnée pour un point général ne doit pas être utilisée telle quelle sur cette droite ; l'image y est déterminée par la transformation projective elle-même.

Parallélisme apparent. Dans un dessin affine, (AM) peut être parallèle à l'axe ou (IA′) parallèle à (OM). Le point d'intersection est alors à l'infini dans le plan projectif. Le symptôme n'est pas une absence de construction projective, mais la sortie du point hors de la partie affine représentée.

Homologie — géométrie : replace l'axe dans la transformation complète et relie les couples de points au centre commun.

Géométrie projective : donne le cadre où les points à l'infini rendent les intersections cohérentes, même en cas de parallélisme affine.

Homographie : élargit l'étude aux transformations projectives qui ne possèdent pas nécessairement l'axe et le centre caractéristiques d'une homologie.