GéométrieNotion · Glossaire
Bieberbach Ludwig
Ludwig Bieberbach (1886-1982) est un mathématicien allemand, surtout connu pour la conjecture qui porte son nom. Si f est une application conforme du disque unité admettant le développement en série ∑aᵢzⁱ, alors |aₙ| ≤ n|a₁| ; Louis de Branges démontre cette conjecture en 1985. Son parcours comprend aussi un engagement national-socialiste : à partir de 1933, il contribue activement à la discrimination des scientifiques juifs en Allemagne, avant d’être démis de toutes ses fonctions en 1945.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la conjecture de Bieberbach à la borne sur les coefficients d’une application conforme du disque unité.
- Vérifier cette borne sur un développement en série explicite.
- Distinguer la conjecture du 18e problème de Hilbert.
- Situer les principaux jalons universitaires et l’engagement national-socialiste de Bieberbach.
En clair
En 1910, à Göttingen, Ludwig Bieberbach obtient son doctorat sous la direction de Felix Klein. La même année, il résout le 18e problème de Hilbert sur le pavage de l’espace euclidien par des polyèdres isométriques. Ces repères biographiques conduisent à la conjecture associée à son nom, qui porte sur les coefficients d’une application conforme.
Son nom reste surtout attaché à une question d’analyse complexe. Une fonction conforme transforme le disque unité sans écraser localement les angles. Bieberbach conjecture une borne très simple pour chaque coefficient de sa série : le coefficient de rang n ne peut pas dépasser n fois le premier en valeur absolue. Louis de Branges démontre cette conjecture en 1985.
Définition
Ludwig Bieberbach (1886-1982) est un mathématicien allemand dont les travaux touchent l’analyse complexe, la théorie des fonctions, la géométrie algébrique et différentielle, la topologie et les groupes de transformations géométriques. Après des études à Heidelberg et Göttingen, il soutient en 1910 une thèse sur les fonctions automorphes, dirigée par Felix Klein. Il enseigne à Königsberg en 1913, à Bâle la même année, à Francfort en 1915, puis à Berlin de 1921 à 1945.
La conjecture qui porte son nom concerne une application conforme f du disque unité. Si cette application s’écrit en série autour de zéro, le nombre an désigne le coefficient du terme zn, tandis que a1 est le premier coefficient. Pour chaque entier n au moins égal à 1, Bieberbach propose la borne . Louis de Branges la démontre en 1985.
Un autre apport cité dans son parcours est la résolution, en 1910, du 18e problème de Hilbert relatif au pavage d’un espace euclidien par des copies isométriques de polyèdres donnés. Cette contribution ne doit pas masquer son engagement politique : à partir de 1933, Bieberbach adhère à l’idéologie nationale-socialiste et participe activement à la discrimination des scientifiques juifs. Il est démis de toutes ses fonctions en 1945.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction k définie dans le disque unité par l’expression suivante. Son développement fournit un exemple où la borne de Bieberbach est atteinte à chaque rang :
Données. Le premier coefficient vaut a1 = 1. Les quatre suivants valent a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4 et a5 = 5.
1. Au rang 3, la borne annoncée est 3|a1| = 3. Or |a3| = 3 : l’inégalité est vérifiée, avec égalité.
2. Au rang 5, la borne vaut 5|a1| = 5. Comme |a5| = 5, l’égalité apparaît encore. Le graphique matérialise ce contrôle pour les cinq premiers rangs.
3. Le même calcul vaut pour tout entier n au moins égal à 1 : ici, an = n et a1 = 1, donc |an| = n|a1|. Pour refaire le contrôle, il suffit de choisir un rang, de lire son coefficient et de le comparer à n fois la valeur absolue du premier coefficient.
En pratique
Pour lire un développement en série d’une application conforme du disque unité, on repère d’abord a1, puis le rang n du coefficient étudié. La borne de Bieberbach donne alors un contrôle immédiat : |an| ne doit pas dépasser n|a1|.
Pour situer les travaux de Bieberbach, il faut choisir le bon cadre. La conjecture relève de l’analyse complexe et des applications conformes ; le 18e problème de Hilbert relève ici des pavages de l’espace euclidien par des polyèdres isométriques.
Pour présenter sa trajectoire historique, le geste pertinent consiste à associer chaque date à un fait précis : doctorat et résolution du problème de Hilbert en 1910, poste à Berlin à partir de 1921, engagement national-socialiste à partir de 1933, destitution en 1945, puis démonstration de la conjecture par Louis de Branges en 1985.
À ne pas confondre
Ludwig Bieberbach et la conjecture de Bieberbach. Le premier est le mathématicien ; la seconde est l’énoncé sur les coefficients d’une application conforme du disque unité. Une date de poste universitaire décrit la personne, tandis qu’une inégalité portant sur an décrit la conjecture.
La conjecture de Bieberbach et le 18e problème de Hilbert. La présence de coefficients an et d’une série signale la première. La décomposition d’un espace euclidien en pavés polyédriques isométriques signale le second. Ce sont deux contributions distinctes du même mathématicien.
Fonctions conformes et fonctions automorphes. La conjecture citée porte sur une application conforme du disque unité. Les fonctions automorphes appartiennent au sujet de la thèse soutenue par Bieberbach en 1910 ; ce contexte doctoral n’est pas l’énoncé de la conjecture.
Limites et pièges
Oublier le domaine. La borne donnée dans la source vise une application conforme du disque unité admettant le développement indiqué. La constater sur une liste arbitraire de nombres ne suffit pas à établir que cette liste provient d’une telle application.
Oublier la valeur absolue. La comparaison porte sur les modules |an| et |a1|, pas sur l’ordre usuel de coefficients éventuellement complexes. Au rang n = 1, la borne devient une égalité et ne fournit aucune information supplémentaire.
Continuer à parler de conjecture sans préciser son statut. L’énoncé a bien été une conjecture de Bieberbach, mais la source indique qu’il est démontré depuis 1985 par Louis de Branges. Dans un raisonnement actuel, on peut donc employer le résultat démontré.
Isoler l’œuvre du parcours politique. Une notice qui ne retiendrait que les résultats mathématiques serait incomplète. L’adhésion de Bieberbach à l’idéologie nationale-socialiste et sa participation active à la discrimination des scientifiques juifs à partir de 1933 sont des faits constitutifs de sa biographie.
Pour aller plus loin
analyse complexe — Situe le domaine dans lequel s’inscrivent les applications conformes et la conjecture de Bieberbach.
fonction holomorphe — Approfondit la famille de fonctions complexes à laquelle se rattache l’étude des développements en série.
Hilbert David — Replace le 18e problème parmi les questions formulées par Hilbert et reliées au parcours de Bieberbach.
Aux origines de l’analyse complexe — Donne un contexte historique plus large au domaine où s’inscrit la conjecture.
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