chiffre et nombre

Sur une étiquette, on lit 395. Les trois signes visibles, 3, 9 et 5, sont des chiffres. Ensemble, ils écrivent le nombre 395, qui représente une quantité.

La différence ressemble à celle entre une lettre et un mot. Une lettre est un signe ; plusieurs lettres peuvent former un mot. De même, dans l'écriture décimale d'un entier naturel, un chiffre est un signe d'écriture, tandis qu'un ou plusieurs chiffres servent à écrire cet entier.

Un chiffre est un symbole graphique appartenant à l'alphabet d'un système de numération. Un nombre est une notion mathématique abstraite qui peut notamment représenter une quantité. Le chiffre relève donc de l'écriture ; le nombre, de ce que cette écriture représente.

Dans la numération décimale de position, l'alphabet comprend exactement dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Leur combinaison permet d'écrire, en notation décimale, l'infinité des nombres entiers naturels. La position de chaque chiffre participe à la valeur de l'écriture : le nombre 395 est formé des chiffres 3, 9 et 5, placés dans cet ordre.

Une écriture à un seul symbole ne supprime pas la distinction. Dans l'inégalité 3 < 4, les signes 3 et 4 représentent les nombres que l'on compare. Dans la phrase « les nombres pairs se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8 », les mêmes signes sont cités comme chiffres possibles en dernière position. Le contexte indique donc si l'on parle du signe ou du nombre représenté.

On examine l'écriture décimale 395. Les données sont les trois signes 3, 9 et 5, lus de gauche à droite, dans un système décimal de position.

1. On repère les symboles employés : ce sont les chiffres 3, 9 et 5.

2. On associe chaque position à sa valeur : 3 centaines, 9 dizaines et 5 unités. La décomposition par positions rend visible la construction du nombre.

3. On recompose la quantité : $3\times 100+9\times 10+5=3953\; \backslash times\; 100\; +\; 9\; \backslash times\; 10\; +\; 5\; =\; 395$.

4. Le résultat est le nombre 395, sans unité indiquée, écrit avec trois chiffres. Pour contrôler, on refait les produits : 3 × 100 vaut 300, 9 × 10 vaut 90, puis 300 + 90 + 5 vaut bien 395.

Quand une consigne demande le nombre de chiffres de 395, on compte les signes de son écriture : il y en a trois. Si elle demande quel nombre est écrit, la réponse est 395. Les mots de la consigne indiquent l'objet à donner.

Pour comparer 3 et 4 dans l'inégalité 3 < 4, on traite 3 et 4 comme des nombres. Le signe < montre que la question porte sur les valeurs représentées, et non sur la forme graphique des chiffres.

Pour reconnaître si un entier écrit en notation décimale est pair, on observe son dernier chiffre. Dans la liste 0, 2, 4, 6 ou 8, chaque symbole nomme ici un chiffre possible en dernière position, et non le nombre entier examiné.

Le chiffre et le nombre. Le critère est le rôle joué : un chiffre est un signe d'écriture, tandis qu'un nombre représente une quantité. Dans 395, on compte trois chiffres, mais on lit un seul nombre.

Un seul symbole peut jouer deux rôles. Le signe 3 est un chiffre quand on décrit l'écriture ; il représente un nombre dans 3 < 4. Il faut examiner l'action exprimée par la phrase : écrire ou décrire un signe, ou comparer une valeur.

Le dernier signe n'est pas le nombre entier. Dans l'écriture en base 10 d'un entier pair, le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. Il faut appliquer ce critère au dernier chiffre de l'écriture, pas remplacer le nombre par ce chiffre.

L'usage courant peut masquer la distinction. Dire « un chiffre » pour une quantité est fréquent, mais ce raccourci brouille l'apprentissage de la numération. Dans un raisonnement mathématique, il faut nommer le chiffre si l'on parle du signe, et le nombre si l'on parle de la quantité.

La numération de position approfondit la manière dont la place de chaque chiffre détermine sa valeur dans l’écriture d’un nombre.