AnalyseFormule · Glossaire
Clarkson (inégalités de )
Pour 1 < p < ∞ et deux fonctions f et g de Lp, les inégalités de Clarkson comparent les normes de f + g et f − g à celles de f et g, selon deux formes adaptées aux cas 1 < p ≤ 2 et 2 ≤ p < ∞. Elles montrent que Lp est uniformément convexe : si deux éléments unitaires sont séparés d’au moins une distance fixée, leur milieu reste à une distance uniforme du bord de la boule unité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer les formules valables pour 1 < p ≤ 2 et pour 2 ≤ p < ∞.
- Vérifier l’inégalité sur deux vecteurs de l’espace L4.
- Relier l’estimation à la convexité uniforme et reconnaître les cas limites p = 1, 2 et ∞.
En clair
Prenons deux listes de nombres et formons leur somme, puis leur différence. Les inégalités de Clarkson comparent la taille cumulée de ces deux nouvelles listes à celle des listes de départ. La façon de mesurer cette taille dépend d’un exposant appelé p.
Cette comparaison révèle une courbure cachée. Dans un espace Lp, deux éléments de taille 1 séparés par une distance fixée ont un milieu qui reste sous 1 avec une marge fixe, lorsque 1 < p < ∞. Cette propriété est la convexité uniforme.
Définition
Les inégalités de Clarkson sont deux estimations de norme valables dans les espaces Lp lorsque 1 < p < ∞. Pour un tel exposant fini, Lp est l’espace des fonctions dont la puissance p de la valeur absolue est intégrable. Le symbole ‖f‖p désigne la norme Lp d’une fonction f.
Pour un exposant p au moins égal à 2 et fini, et pour deux fonctions f et g de Lp, la première forme est :
Pour 1 < p ≤ 2, on introduit l’exposant conjugué q, défini par 1/p + 1/q = 1. La seconde forme est :
À p = 2, les deux formes deviennent l’identité du parallélogramme. Pour tout 1 < p < ∞, elles fournissent la convexité uniforme de Lp.
Le principe
Soient f et g deux éléments d’un même espace Lp. Si 2 ≤ p < ∞, alors :
Si 1 < p ≤ 2 et si q est déterminé par 1/p + 1/q = 1, alors :
Le changement d’exposant entre les deux branches est essentiel.
Quand l'utiliser
Les deux fonctions doivent appartenir au même espace Lp sur un même espace mesuré. Elles peuvent être réelles ou complexes. Leur norme doit être finie, et l’exposant doit satisfaire 1 < p < ∞ pour conclure à la convexité uniforme. Pour la branche 1 < p ≤ 2, il faut aussi calculer l’exposant conjugué q.
Aux seuils p = 1 et p = ∞, les espaces L1 et L∞ généraux ne sont pas uniformément convexes. On ne peut donc pas prolonger la conclusion par simple passage à la borne. À p = 2, il faut employer l’identité du parallélogramme, qui donne une égalité plus précise.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’espace des couples de nombres muni de la norme L4. Prenons f = (1, 0), g = (0, 1) et p = 4. Les deux vecteurs ont chacun une norme égale à 1.
1. Former la somme donne f + g = (1, 1), tandis que la différence donne f − g = (1, −1).
2. Élever leurs normes à la puissance 4 donne ‖f + g‖44 = 2 et ‖f − g‖44 = 2.
3. Le membre de gauche vaut donc 2 + 2 = 4.
4. La borne de droite vaut 23 × (1 + 1) = 16.
2. Élever leurs normes à la puissance 4 donne ‖f + g‖44 = 2 et ‖f − g‖44 = 2.
3. Le membre de gauche vaut donc 2 + 2 = 4.
4. La borne de droite vaut 23 × (1 + 1) = 16.
L’inégalité demandée est bien vérifiée : 4 ≤ 16. Le contrôle consiste à recalculer directement la quatrième puissance de chaque norme, qui est la somme des quatrièmes puissances des deux coordonnées.
La comparaison visuelle des deux membres fait apparaître la marge de l’estimation dans ce cas : le membre gauche atteint un quart de la borne droite.
En pratique
En analyse fonctionnelle, on normalise deux fonctions puis on applique Clarkson pour relier leur séparation à la norme de leur milieu. Si une distance positive entre elles impose un déficit uniforme du milieu sous 1, on obtient la convexité uniforme.
Dans un problème d’approximation en norme Lp, cette courbure aide à montrer que deux candidats presque optimaux ne peuvent pas rester éloignés. Lorsque p = 2, l’identité du parallélogramme est préférable, car elle fournit directement une égalité.
Pour un calcul concret, on choisit la branche en regardant p : la première pour 2 ≤ p < ∞, la seconde pour 1 < p ≤ 2, avec l’exposant conjugué q. À p = 2, elles coïncident.
À ne pas confondre
Avec l’inégalité triangulaire. Celle-ci borne séparément ‖f + g‖p par ‖f‖p + ‖g‖p. Clarkson traite simultanément la somme et la différence, avec des puissances dépendant de p. Dans l’exemple f = (1, 0) et g = (0, 1), la présence conjointe de f + g et f − g signale Clarkson.
Avec l’identité du parallélogramme. Cette identité est une égalité caractéristique des normes issues d’un produit scalaire. Les inégalités de Clarkson restent valables dans Lp pour d’autres exposants. Pour p = 4, l’exemple donne 4 < 16 : il s’agit bien d’une inégalité, pas de l’identité hilbertienne.
Limites et pièges
Ne pas inclure les extrémités. La conclusion de convexité uniforme vaut pour 1 < p < ∞. À p = 1 ou p = ∞, elle échoue en général ; il faut examiner l’espace particulier au lieu de prolonger automatiquement l’argument.
Ne pas intervertir les deux branches. Au-dessus de 2, les normes sont élevées à la puissance p. Entre 1 et 2, le membre de gauche emploie l’exposant conjugué q. Un exposant mal choisi rend le test sans fondement.
Ne pas attendre l’égalité. Les constantes donnent une borne uniforme, pas la valeur exacte de la somme. Dans l’exemple à p = 4, 4 est strictement inférieur à 16. L’égalité systématique n’apparaît qu’au cas charnière p = 2.
Pour aller plus loin
La fiche norme précise les propriétés de la mesure de taille utilisée ici et aide à replacer les espaces Lp parmi les espaces normés.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres