convention d'Einstein

Imaginez trois paires de nombres placées face à face. On multiplie les nombres de chaque paire, puis on additionne les trois résultats. Dans une longue expression, écrire le signe ∑ et ses bornes à chaque fois alourdirait vite la lecture.

La convention d'Einstein remplace cette consigne répétée par un indice commun. Lorsqu'une même lettre d'indice figure une fois en haut et une fois en bas dans un terme, elle annonce la somme sur toutes ses valeurs possibles.

La convention de sommation d'Einstein est une règle d'écriture pour les composantes de vecteurs, de covecteurs et, plus généralement, de tenseurs. Dans un terme, un indice répété exactement deux fois, une fois en position haute et une fois en position basse, est un indice muet : on somme sur toute la plage de valeurs attachée à cet indice. Le symbole de sommation et ses bornes sont alors omis.

Si les composantes d'un vecteur sont notées $u^{i}u^i$ et celles d'un covecteur $a_{i}a\_i$, avec un indice i allant de 1 à n, leur contraction s'écrit $a_i{u}^{i}a\_i\; u^i$. Cette écriture signifie exactement :

Un indice présent une seule fois est libre : il demeure dans le résultat et doit apparaître de la même façon dans chaque terme d'une somme. La règle dépend donc d'une plage d'indices connue. D'autres disciplines emploient des variantes, notamment des indices tous placés en bas ; cette fiche suit la convention tensorielle haute-basse.

On travaille en dimension 3. Les composantes du vecteur u sont 2, −1 et 3. Celles du covecteur a sont 4, 5 et −2. L'indice i prend donc les valeurs 1, 2 et 3. La figure décompose la contraction en trois produits et rend visible la somme cachée.

1. Dans $a_i{u}^{i}a\_i\; u^i$, l'indice i est répété une fois en bas et une fois en haut : la sommation est implicite.
2. On développe les trois valeurs de l'indice : $a_1{u}^1+a_2{u}^2+a_3{u}^{3}a\_1u^1+a\_2u^2+a\_3u^3$.
3. On remplace chaque composante par sa valeur : $4\times 2+5\times (-1)+(-2)\times 34\backslash times2+5\backslash times(-1)+(-2)\backslash times3$.
4. On calcule les produits, puis la somme : 8 − 5 − 6 = −3.

Le résultat de la contraction est le scalaire −3. Pour contrôler le calcul, on peut écrire explicitement ${\sum }_{i=1}^3{a}_i{u}^i\backslash sum\_\{i=1\}^\{3\}a\_i\; u^i$ : les mêmes trois produits apparaissent et donnent encore −3.

En calcul tensoriel, la convention raccourcit les contractions comme celle de l'exemple. Dès qu'une expression comporte plusieurs indices, on repère les paires haute-basse avant de calculer. L'écriture avec ∑ reste préférable si la plage de valeurs n'est pas claire.

En relativité générale et en géométrie différentielle, elle rend lisibles les changements de coordonnées et les expressions à nombreuses composantes. Le geste utile consiste à distinguer les indices muets, qui disparaissent par sommation, des indices libres, qui subsistent dans le résultat.

En mécanique des milieux continus, elle abrège les relations entre tenseurs. Pour communiquer avec un lecteur qui ne connaît pas la convention, développer au moins une somme évite qu'une multiplication apparente soit mal interprétée.

Produit composante par composante. Dans un produit composante par composante, chaque rang fournit encore une composante. Avec la convention d'Einstein, un indice muet est sommé et disparaît. Ainsi, $a_i{u}^{i}a\_i\; u^i$ donne ici le seul nombre −3, et non la liste 8, −5, −6.

Somme explicite. Le signe ∑ est une opération écrite avec sa variable et ses bornes. La convention d'Einstein est une règle de lecture qui autorise à omettre ce signe lorsque la répétition des indices remplit les conditions convenues. Les deux écritures donnent le même calcul, mais seule la seconde dépend de la convention.

Indice répété plus de deux fois. Une expression telle que $b_i{c}^i{d}_{i}b\_i\; c^i\; d\_i$ n'a pas de lecture standard dans la convention tensorielle stricte. Le symptôme est la présence de trois occurrences du même indice dans un terme. Il faut renommer les indices et écrire explicitement l'opération voulue.

Deux occurrences du même côté. Deux indices tous deux en haut ou tous deux en bas ne déclenchent pas la sommation dans la version haute-basse. Si un domaine adopte une autre variante, celle-ci doit être annoncée ; sinon, il faut conserver le signe ∑.

Indices libres incohérents. Dans une addition, chaque terme doit porter les mêmes indices libres. Si l'un des termes conserve j et l'autre k, les composantes comparées ne sont pas identifiées. Il faut corriger l'indice ou reformuler l'égalité.

Plage inconnue. La notation abrégée ne fixe pas à elle seule les valeurs parcourues. En dimension 3, l'exemple comporte exactement trois termes ; dans une autre dimension, leur nombre change. Lorsque le contexte ne donne pas la plage, il faut l'indiquer ou rétablir les bornes de la somme.

Le glossaire tenseur précise la nature des objets dont les composantes portent ces indices. La fiche algèbre linéaire replace vecteurs et applications dans leur cadre général. L'article Le tenseur : un outil indispensable montre pourquoi cette écriture compacte devient précieuse dans les calculs tensoriels.