AlgèbreNotion · Glossaire
Étrangers (idéaux)
Deux idéaux d'un anneau commutatif sont dits étrangers (ou comaximaux) si leur somme est égale à l'anneau tout entier, c'est-à-dire s'il existe un élément de chaque idéal dont la somme est l'unité. Pour les entiers, deux idéaux principaux (n) et (m) sont étrangers si et seulement si n et m sont premiers entre eux. Le théorème chinois des restes se généralise aux anneaux commutatifs via la notion d'idéaux étrangers.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître deux idéaux étrangers grâce à une somme égale à l'anneau.
- Vérifier le critère sur les idéaux (6) et (35) avec une identité de Bézout.
- Distinguer comaximalité, intersection nulle et idéal premier.
- Relier la notion au théorème des restes chinois.
En clair
Prenons les multiples de 6 et les multiples de 35. En choisissant 36 dans le premier groupe et −35 dans le second, leur somme vaut 1. À partir de cette unité, les combinaisons de ces deux groupes peuvent atteindre tous les entiers.
Les idéaux (6) et (35) sont donc étrangers. Le mot ne signifie ni qu'ils sont sans rapport, ni qu'ils ne partagent aucun élément : il exprime que leur somme engendre tout l'anneau.
Définition
Soit un anneau commutatif A possédant une unité notée 1. Deux idéaux I et J de A sont étrangers, ou comaximaux, lorsque leur idéal somme est A. L'idéal somme rassemble tous les éléments obtenus en ajoutant un élément de I à un élément de J.
Le critère complet s'écrit . En effet, si la somme contient 1, elle contient chaque élément a de A, car a = a × 1. Réciproquement, si I + J est tout A, l'unité appartient nécessairement à cette somme.
Dans l'anneau des entiers, l'idéal principal (n) est l'ensemble des multiples de l'entier n. Les idéaux (n) et (m) sont étrangers exactement lorsque n et m sont premiers entre eux. L'identité donnant 1 est alors une identité de Bézout.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans l'anneau des entiers avec deux idéaux principaux.
Données : I = (6), l'idéal des multiples de 6 ; J = (35), l'idéal des multiples de 35.
Données : I = (6), l'idéal des multiples de 6 ; J = (35), l'idéal des multiples de 35.
1. Choisir 36 = 6 × 6 dans I.
2. Choisir −35 = (−1) × 35 dans J. La relation exacte entre ces deux choix est visualisée par la figure.
3. Additionner ces éléments : . L'unité appartient donc à I + J, ce qui prouve que I + J = ℤ.
Les idéaux (6) et (35) sont étrangers. Pour refaire le contrôle sans les idéaux, l'algorithme d'Euclide donne un plus grand commun diviseur égal à 1 : les entiers 6 et 35 sont bien premiers entre eux.
En pratique
Pour décider si deux idéaux d'un anneau sont étrangers, on cherche une écriture de l'unité comme somme d'un élément de chacun. Si une telle écriture apparaît, elle constitue immédiatement un certificat vérifiable.
Dans ℤ, il suffit de calculer le plus grand commun diviseur des générateurs. On préfère ce calcul à une recherche au hasard : le résultat vaut 1 exactement lorsque les deux idéaux principaux sont étrangers.
Lorsqu'un problème impose plusieurs congruences, on examine les idéaux associés aux modules. S'ils sont étrangers deux à deux, le théorème des restes chinois permet de réunir les conditions dans une même classe de solutions.
À ne pas confondre
Idéaux étrangers et idéaux d'intersection nulle. Le premier critère porte sur la somme, le second sur les éléments communs. Dans ℤ, les idéaux (6) et (35) sont étrangers, mais leur intersection contient 210 et n'est donc pas réduite à zéro.
Idéal premier et idéal étranger à un autre. Être premier est une propriété d'un seul idéal, testée par les produits d'éléments. Être étranger est une relation entre deux idéaux, testée par leur somme. Ainsi, (6) et (35) sont étrangers alors que (6) n'est pas un idéal premier de ℤ.
Limites et pièges
Une somme propre ne suffit pas. Trouver des éléments dont la somme vaut 2, par exemple, prouve seulement que 2 appartient à I + J. Il faut obtenir l'unité 1, ou établir directement que la somme est tout l'anneau.
Un idéal avec lui-même. La somme I + I reste I. Un idéal n'est donc étranger à lui-même que s'il est déjà l'anneau entier ; c'est le cas dégénéré où I contient 1.
Plus de deux idéaux. Avoir une somme totale ne garantit pas que chaque paire soit étrangère. Pour appliquer la forme usuelle du théorème des restes chinois à plusieurs idéaux, il faut contrôler la comaximalité deux à deux.
Cadre de la fiche. Les critères présentés concernent les idéaux d'un anneau commutatif unitaire. Dans un autre cadre algébrique, il faut préciser le côté des idéaux et vérifier la formulation adaptée avant de réutiliser ces conclusions.
Pour aller plus loin
anneau commutatif — Revoir la structure dans laquelle sont définis les idéaux, leur somme et l'unité.
Premiers entre eux — Relier le critère abstrait au calcul du plus grand commun diviseur dans les entiers.
théorème des restes chinois — Voir comment la comaximalité rend compatibles plusieurs congruences et structure leurs solutions.
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