figures symétriques

Imaginez un triangle dessiné à côté d'une droite, puis son reflet de l'autre côté. Chaque sommet du premier triangle a un partenaire placé à la même distance de la droite. Les deux triangles sont alors symétriques par rapport à cette droite.

Une symétrie peut aussi s'effectuer autour d'un point, comme un demi-tour. Dans l'espace, elle peut se faire par rapport à un plan. Dans chaque cas, la transformation associe tous les points d'une figure à ceux de l'autre sans changer les longueurs ni les angles.

Deux figures géométriques distinctes sont symétriques lorsqu'une même symétrie transforme chaque point de la première en un point de la seconde. La seconde est alors l'image de la première, et réciproquement : appliquer une deuxième fois la même symétrie ramène à la figure de départ. Cette transformation conserve notamment les distances et les angles. Les deux figures ont donc la même forme et les mêmes dimensions, même si leur orientation diffère.

En géométrie plane, une symétrie axiale est définie par une droite : pour tout point situé hors de cette droite, celle-ci est la médiatrice du segment reliant le point à son image ; les points de l'axe restent fixes. Une symétrie centrale est définie par un point : pour tout point distinct du centre, celui-ci est le milieu du segment reliant le point à son image ; le centre reste fixe. Dans l'espace, pour tout point situé hors du plan de symétrie, le point et son image sont de part et d'autre de ce plan, à égale distance et sur une droite perpendiculaire au plan ; les points du plan restent fixes.

Cette relation entre deux figures ne doit pas être confondue avec la propriété d'une seule figure qui possède un axe, un centre ou un plan de symétrie. Les notions se rejoignent toutefois : si une figure et son image sont réunies, leur réunion reste inchangée par la symétrie utilisée.

Dans un repère, la lettre x désigne la coordonnée horizontale. On construit l'image du triangle ABC par rapport à la droite verticale d'équation x = 5. Les données sont :
A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(2 ; 3) ;
l'axe de symétrie est la droite x = 5.

Pour un point de coordonnées (x ; y), la coordonnée horizontale de son image, notée x′, et sa coordonnée verticale, notée y′, vérifient :

1. Pour A, x′ = 10 − 1 = 9 et y′ = 1 : A′(9 ; 1).
2. Pour B, x′ = 10 − 4 = 6 et y′ = 2 : B′(6 ; 2).
3. Pour C, x′ = 10 − 2 = 8 et y′ = 3 : C′(8 ; 3).
4. On relie A′, B′ et C′ dans le même ordre pour obtenir le triangle image.

Le contrôle se refait point par point : le milieu de [AA′], de [BB′] et de [CC′] a toujours pour coordonnée horizontale 5. La droite x = 5 est donc la médiatrice de chacun de ces trois segments.

Pour construire une image par symétrie axiale, on mène par chaque sommet une perpendiculaire à l'axe, puis on reporte la même distance de l'autre côté. Cette méthode convient quand une droite est donnée ; si seul un point est donné, il faut employer une symétrie centrale.

Sur un quadrillage, on compte les carreaux perpendiculairement à l'axe pour placer les points images. Le comptage horizontal ou vertical suffit seulement lorsque l'axe suit une ligne du quadrillage ; avec un axe oblique, l'équerre ou le compas évite une fausse égalité de distances.

Pour vérifier deux tracés, on associe plusieurs points remarquables et on contrôle l'élément de symétrie : même milieu pour une symétrie centrale, même médiatrice pour une symétrie axiale. Une simple ressemblance visuelle ne suffit pas.

Figures symétriques et figure symétrique. Le pluriel met en relation deux figures par une transformation donnée. Le singulier décrit une figure qui reste globalement inchangée sous une symétrie. Ainsi, les deux triangles ABC et A′B′C′ sont symétriques ; leur réunion possède l'axe x = 5.

Symétrie et translation. Ces transformations conservent toutes deux les longueurs et les angles, mais elles ne se testent pas de la même manière. Dans une translation, les segments reliant les points à leurs images sont parallèles, de même longueur et de même sens. Dans l'exemple, qui relève d'une symétrie axiale et non d'une translation, ils sont coupés en leur milieu par l'axe x = 5.

Symétriques et simplement superposables. Deux figures de même forme et de mêmes dimensions peuvent se correspondre par une autre isométrie sans être les images l'une de l'autre par la symétrie annoncée. Le critère décisif reste la position des couples de points par rapport à la droite, au point ou au plan donné.

Un point sur l'élément de symétrie peut rester fixe. Sur un axe ou un plan, son image est le point lui-même ; dans une symétrie centrale, seul le centre est fixe. Il ne faut donc pas chercher deux points distincts dans ce cas.

L'axe ne se lit pas toujours verticalement. Pour un axe oblique, une égalité de distances mesurées horizontalement est sans valeur. Il faut contrôler que le segment joignant un point à son image est perpendiculaire à l'axe et coupé en son milieu par celui-ci.

Une correspondance partielle ne suffit pas. Trois sommets bien placés déterminent l'image d'un triangle, mais quelques points concordants ne prouvent pas la symétrie de figures courbes ou composées. La même transformation doit envoyer toute la première figure sur toute la seconde.

La réunion peut comporter des recouvrements. Si certaines parties coupent l'axe, le centre ou le plan, la figure et son image peuvent partager des points. Leur réunion reste néanmoins inchangée par la symétrie ; il ne faut pas compter deux fois les zones communes.

La transformation géométrique replace la symétrie parmi les applications qui déplacent les points et permet de comparer ce qu'elles conservent.

L'axe de symétrie précise comment reconnaître la droite qui partage une figure et son image en couples de points correspondants.

La symétrie centrale approfondit le cas où un point est le milieu commun de tous les segments joignant les points à leurs images.