GéométrieNotion · Glossaire
figure symétrique
Une figure symétrique est une figure géométrique qui admet au moins un élément de symétrie, c'est-à-dire un centre de symétrie, un axe de symétrie ou un plan de symétrie. Pour plus de précision, on distingue la figure symétrique par rapport à un point, par rapport à une droite, et par rapport à un plan. Il s'agit d'une propriété intrinsèque d'une seule figure, indépendante de sa position ou de la façon dont elle est dessinée : on la teste en appliquant la symétrie considérée et en vérifiant que la figure coïncide avec elle-même.
Cette notion se distingue de celle de figures symétriques (au pluriel), qui désigne deux figures distinctes dont l'une est l'image de l'autre par une symétrie. Les deux concepts sont liés : si deux figures sont symétriques l'une de l'autre par rapport à un élément, la réunion de ces deux figures constitue une figure symétrique par rapport à ce même élément. Dans l'apprentissage, il est courant d'aborder d'abord l'une des deux notions avant d'établir progressivement le lien entre elles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Caractériser une figure qui coïncide avec elle-même par une symétrie.
- Distinguer un axe, un centre et un plan de symétrie.
- Vérifier sur un triangle l'échange de deux sommets et la fixation d'un troisième.
- Séparer la figure symétrique au singulier des figures symétriques au pluriel.
En clair
Imaginez un triangle découpé dans une feuille, avec son sommet placé sur un pli vertical. Si les deux moitiés se couvrent exactement quand la feuille est pliée, le triangle retrouve la même forme. Aucun morceau ne dépasse.
La droite du pli est alors un axe de symétrie. Le triangle est une figure symétrique parce que la réflexion autour de cet axe le laisse tout entier inchangé, même si ses points de gauche et de droite échangent leurs places.
Définition
Une figure géométrique appelée F est symétrique lorsqu'il existe au moins une symétrie qui laisse inchangé l'ensemble de ses points. Si cette symétrie est notée s, la condition s'écrit . La figure coïncide donc avec elle-même après l'opération. Cette propriété dépend de la figure entière, et non de sa position sur une feuille ni d'un dessin particulier.
L'élément de symétrie peut être un point, une droite ou un plan, selon le cadre géométrique considéré. On parle respectivement de figure symétrique par rapport à un point, à une droite ou à un plan. Il suffit d'un tel élément pour que la figure soit qualifiée de symétrique ; elle peut aussi en posséder plusieurs.
Cette propriété d'une seule figure se distingue d'une relation entre deux figures. Si deux figures distinctes F et G sont les images l'une de l'autre par la même symétrie s, alors . Leur réunion est laissée inchangée : . Elle constitue donc une figure symétrique par rapport au même élément.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère, le triangle ABC a pour sommets A(−3 ; 0), B(3 ; 0) et C(0 ; 4). La droite d est l'axe vertical d'équation x = 0. La symétrie par rapport à d associe au point de coordonnées (x ; y) le point de coordonnées (−x ; y). La figure rend visibles les deux moitiés qui doivent se recouvrir.
1. La règle de la symétrie est . L'abscisse change de signe, tandis que l'ordonnée reste la même.
2. Le sommet A devient B, car s(−3 ; 0) = (3 ; 0). Réciproquement, B devient A.
3. Le sommet C reste en place, car son abscisse est nulle : s(0 ; 4) = (0 ; 4). Les trois sommets images sont donc B, A et C. Ils forment exactement le triangle initial.
4. Le contrôle se refait avec les distances à l'axe d. A et B sont chacun à 3 unités de d, de part et d'autre, tandis que C est à 0 unité. Chaque sommet possède bien son correspondant dans le triangle : ABC est une figure symétrique par rapport à d.
En pratique
Pour tester un dessin sur papier, un pli ou un petit miroir placé sur l'axe supposé permet de comparer les deux moitiés. Si le tracé est imprécis, la vérification par coordonnées offre une alternative exacte : les points correspondants doivent suivre la même règle de symétrie.
Pour construire une figure symétrique par rapport à une droite, on choisit les points qui déterminent son contour, puis on place leurs images. Dans le triangle ABC, A et B s'échangent et C reste fixe ; relier les sommets images redonne donc le contour initial.
Pour tester un centre ou un plan supposé, on applique de même la symétrie correspondante à chaque point retenu et on vérifie que son image appartient encore à l'objet. Le contrôle ne s'arrête toutefois pas à quelques repères visibles : le bon élément est celui pour lequel tous les points de l'objet retrouvent une place dans l'objet après la symétrie.
À ne pas confondre
Une figure symétrique et deux figures symétriques. Au singulier, une figure coïncide avec elle-même. Au pluriel, deux figures distinctes s'échangent. Les deux moitiés du triangle ABC s'échangent ; leur réunion, le triangle entier, est une figure symétrique.
Axe de symétrie et médiatrice d'un segment. Une droite peut partager un segment en deux parties égales sans être un axe de toute la figure. La droite d est la médiatrice de AB, mais elle est axe du triangle seulement parce qu'elle échange aussi les côtés AC et BC tout en fixant C.
Élément de symétrie et transformation. L'axe, le centre ou le plan est le support géométrique par rapport auquel on agit. La symétrie est l'opération qui associe chaque point à son image. Une figure est symétrique lorsque cette opération conserve l'ensemble de ses points.
Limites et pièges
Ressemblance locale. Deux côtés ou deux motifs qui se répondent ne suffisent pas. Le symptôme est un point dont l'image sort de la figure. Il faut tester tout le contour et, si la figure comprend une surface ou un volume, tous les points de cette partie.
Points laissés fixes. Un point placé sur un axe ou un plan de symétrie reste à la même place ; il n'a pas besoin d'un partenaire distinct. Dans l'exemple, C est son propre symétrique. Il faut le conserver dans la vérification au lieu de chercher un second sommet.
Symétrie seulement apparente. Un dessin à main levée peut sembler équilibré sans que les points se correspondent exactement. Si les distances à l'axe supposé diffèrent, la propriété mathématique n'est pas établie. Une construction instrumentée ou un contrôle par coordonnées tranche l'ambiguïté.
Un élément n'est pas nécessairement unique. La définition exige au moins un centre, un axe ou un plan, et non exactement un. Après avoir trouvé un élément qui fonctionne, il faut poursuivre séparément la recherche si l'on veut déterminer tous les éléments de symétrie de la figure.
Pour aller plus loin
Le glossaire symétrie centrale précise le cas où un point est l'élément par rapport auquel les positions se répondent.
Le glossaire transformation géométrique replace les symétries parmi les opérations qui associent à chaque point une image unique.
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