formule de Crofton

Tracez une courbe sur une feuille, puis faites passer beaucoup de droites à travers la feuille. Une courbe longue offre davantage d’occasions d’être coupée. Pour chaque droite, comptez donc zéro, un, deux points d’intersection, ou davantage.

La formule de Crofton transforme ce comptage en longueur. Elle additionne les nombres d’intersections pour toutes les positions et toutes les orientations possibles des droites, puis applique un facteur de normalisation. Ainsi, une mesure géométrique continue se retrouve à partir d’un simple dénombrement.

La formule de Crofton, ou formule de Cauchy-Crofton, est un résultat de géométrie intégrale. Elle s’applique à une courbe rectifiable Γ du plan, c’est-à-dire à une courbe de longueur finie. Une droite orientée L est repérée par un angle orienté φ et par sa distance algébrique p à l’origine. Le nombre de passages de la courbe par cette droite, comptés avec multiplicité, est noté $n(\phi ,p)n(\backslash varphi,p)$.

La longueur d’arc de Γ, passages répétés compris, notée $l(\mathrm{\Gamma })l(\backslash Gamma)$, est obtenue en intégrant ce nombre d’intersections sur l’ensemble des droites orientées :Le facteur 1/4 correspond ici au parcours des orientations sur un tour complet et à l’emploi d’une distance signée.

L’intégrale tient compte de toutes les positions et orientations, pas d’un tirage particulier de quelques droites. En dimension trois, une formule de Crofton pour l’aire d’une surface intègre, avec une mesure adaptée, le nombre de ses intersections avec les droites de l’espace.

Si Γ est une courbe rectifiable du plan, avec ses éventuels passages répétés, et si chaque droite orientée est décrite par son angle φ et sa distance algébrique p à l’origine, alors sa longueur d’arc vérifie :

La fonction $n(\phi ,p)n(\backslash varphi,p)$ compte les intersections de la droite correspondante avec Γ, avec multiplicité : si la courbe passe plusieurs fois par un même point, chaque passage compte. L’intégration additionne ces comptages pour toutes les droites ; le facteur 1/4 corrige la convention d’orientation et de distance signée.

La courbe doit être rectifiable, donc avoir une longueur finie. Lorsqu’elle repasse au même endroit, chaque passage doit être compté : les intersections sont prises avec multiplicité. Il faut aussi fixer une convention cohérente pour représenter toutes les droites orientées par l’angle φ et la distance signée p. Enfin, le nombre d’intersections doit être pris pour presque toute droite : les positions exceptionnelles, comme une tangente isolée, n’affectent pas l’intégrale.

Une liste finie de droites choisies arbitrairement ne suffit pas à donner exactement la longueur : elle ne réalise pas l’intégrale sur toutes les positions et orientations. Avec un échantillon aléatoire, on obtient seulement une estimation, dont la qualité dépend du protocole de tirage et du nombre de droites.

Prenons pour Γ le cercle de centre O et de rayon 2. Une droite située à une distance absolue inférieure à 2 du centre coupe le cercle en deux points. À la distance 2, elle est tangente et n’a qu’un point commun ; au-delà, elle ne le rencontre pas. La figure matérialise ces trois cas pour une même orientation.

Données. L’angle φ parcourt un tour complet, de 0 à 2π. Pour chaque angle, la distance signée p parcourt l’intervalle de −2 à 2 pour les droites sécantes, et leur nombre d’intersections vaut 2 presque partout sur cet intervalle.

1. À orientation fixée, l’intégrale sur les positions vaut :

2. Toutes les orientations donnent le même résultat pour un cercle. L’intégrale double vaut donc :

3. La formule applique le facteur 1/4 :Le résultat est exactement la circonférence d’un cercle de rayon 2, puisque 2π × 2 = 4π. Les deux droites tangentes, correspondant à p = −2 et p = 2, ne changent pas l’intégrale car deux valeurs isolées ont une mesure nulle.

Sur une image quadrillée, on peut estimer la longueur d’un contour en lançant des droites selon un protocole uniforme, puis en comptant leurs intersections. Si le contour est déjà décrit par une équation simple, un calcul direct de longueur est généralement préférable.

Pour comparer deux contours observés dans les mêmes conditions, le comptage moyen des intersections fournit un indicateur de longueur. Il faut conserver la même distribution de positions et d’orientations ; sinon, une direction privilégiée peut biaiser la comparaison.

Dans un calcul exact, on intègre le nombre d’intersections sur toutes les droites. Dans une mesure expérimentale, on indique au contraire qu’il s’agit d’une estimation et l’on augmente le nombre de droites pour contrôler sa stabilité.

La probabilité qu’une droite rencontre la courbe ne suffit pas, en général, à appliquer la formule de Crofton. Celle-ci utilise le nombre d’intersections, pas seulement la réponse oui ou non. Une droite qui coupe quatre fois une courbe non convexe compte 4 dans l’intégrale, alors qu’un simple indicateur de rencontre ne compterait que 1.

Une estimation par échantillonnage n’est pas l’identité exacte. Cent droites tirées au hasard donnent une valeur approchée dépendante du tirage ; l’intégrale sur l’ensemble des droites donne, sous les hypothèses requises, la longueur exacte.

Droites exceptionnelles. Pour le cercle de rayon 2, les distances signées p = −2 et p = 2 donnent une seule intersection au lieu de deux. Ces valeurs isolées ont une mesure nulle et ne modifient pas l’intégrale. Si une droite se confond avec un segment de la courbe, elle possède une infinité de points communs ; ce cas exceptionnel se traite lui aussi par la formulation valable pour presque toute droite.

Convention de paramétrage. Le facteur 1/4 est lié ici aux droites orientées, à φ parcourant 0 à 2π et à la distance signée p. Si l’on ne représente chaque droite qu’une fois avec une autre convention, le domaine d’intégration et le facteur changent ensemble. Mélanger les conventions double ou divise artificiellement le résultat.

Courbe parcourue plusieurs fois. Compter seulement les points géométriques distincts perd la multiplicité d’un tracé qui repasse exactement sur le même arc. Pour mesurer la longueur avec multiplicité, il faut utiliser une version de la formule où le nombre d’intersections tient compte des passages.

Échantillon orienté. Des droites presque toutes parallèles surreprésentent certaines directions et ne reproduisent pas la mesure uniforme de la formule. Il faut tirer les positions et les orientations selon la convention choisie, puis annoncer l’incertitude de l’estimation.

La fiche mesure de Lebesgue précise pourquoi quelques valeurs isolées de p, comme les tangences du cercle, ne changent pas une intégrale.

En dimension trois, une formule de Crofton pour l’aire d’une surface fait intervenir les droites de l’espace. L’intégrale du nombre de leurs intersections avec la surface, pour une mesure adaptée sur ces droites et sous des hypothèses appropriées, permet d’en exprimer l’aire.