Seki Takakazu

Au Japon de la période Edo, entre 1642 et 1708, Seki Takakazu étudie les mathématiques alors que le pays vit presque coupé de l’Occident. Il part notamment d’ouvrages chinois consacrés à l’algèbre et aux méthodes numériques.

Ses recherches rencontrent pourtant celles de savants européens : résoudre des équations à plusieurs inconnues, éliminer une variable, organiser les calculs avec les déterminants ou approcher π. Cette convergence est remarquable parce que ses résultats sont obtenus indépendamment.

Seki Takakazu, aussi appelé Kōwa Seki, est un mathématicien japonais de la période Edo, né en 1642 et mort en 1708. Adopté par une famille noble dont il porte le nom, il se forme à partir d’ouvrages chinois des XIII^e au XV^e siècles sur l’algèbre et les méthodes numériques. Dans un Japon alors presque isolé de l’Occident, il constitue une importante bibliothèque et acquiert le surnom anglais de the arithmetical sage, « le sage de l’arithmétique ».

Son domaine principal est celui des équations algébriques. Il étudie les systèmes à plusieurs variables et élabore une théorie de l’élimination qui annonce les travaux ultérieurs de Bézout. Il introduit aussi, indépendamment et quelques années avant Leibniz, une théorie des déterminants. Ses recherches couvrent encore les équations diophantiennes, le calcul infinitésimal et les nombres de Bernoulli, notamment en relation avec son intérêt pour l’astronomie.

Seki obtient également l’approximation π ≈ 3,14159265359. Son écart avec π est inférieur à 5 × 10⁻¹¹ : arrondie à dix chiffres après la virgule, cette valeur donne 3,1415926536, comme π. Le procédé d’accélération de convergence qu’il emploie présente une analogie avec la transformation Δ² appelée aujourd’hui méthode d’Aitken, sans que cette dénomination moderne implique une identité historique. L’école mathématique qu’il fonde poursuit son activité jusqu’à la fin de la période Edo.

Voici un exemple élémentaire du geste d’élimination associé aux recherches algébriques de Seki. Il ne reproduit pas un calcul historique. Les deux inconnues sont les nombres x et y ; les données sont une somme égale à 5 et une différence égale à 1.

1. Écrivons le système :

2. Additionnons les deux équations. Les termes y et −y s’annulent, donc la variable y est éliminée :

3. Divisons les deux membres par 2. Nous obtenons x = 3.

4. Remplaçons x par 3 dans la première équation : 3 + y = 5, donc y = 2. Le couple obtenu est (3 ; 2). Le contrôle est direct : 3 + 2 = 5 et 3 − 2 = 1.

Pour situer Seki dans l’histoire des mathématiques, on compare des résultats précis plutôt que des réputations générales. Les déterminants constituent un repère : Seki en développe une théorie autonome quelques années avant Leibniz.

Pour comprendre son travail algébrique, on peut pratiquer l’élimination sur un petit système, comme celui de l’exemple guidé. Si une addition fait disparaître une inconnue, elle est préférable à une substitution plus longue ; sinon, la substitution reste une alternative.

Pour étudier son calcul de π, on distingue la valeur recherchée de son approximation décimale. Le bon contrôle consiste à annoncer la précision atteinte : ici, la dixième décimale, plutôt qu’à parler d’une égalité exacte avec π.

Seki Takakazu et Leibniz. Leurs travaux se rencontrent sur la théorie des déterminants, mais ils ne forment pas une collaboration. Le critère décisif est l’indépendance des recherches dans un Japon presque isolé de l’Occident.

Élimination et déterminant. Éliminer consiste à faire disparaître une variable d’un système, comme y dans l’exemple. Un déterminant est un outil algébrique distinct ; les deux thèmes appartiennent aux travaux de Seki sans désigner la même opération.

L’expression « valeur exacte jusqu’à la dixième décimale » doit se lire comme une approximation correcte à cette précision. π possède une infinité de décimales : il faut donc parler d’approximation, et non d’égalité exacte avec une écriture décimale finie.

Le rapprochement avec la méthode d’Aitken est une analogie rétrospective fondée sur leur fonction commune d’accélération de convergence. Il ne suffit pas à identifier les deux procédés sans exposer la suite et la transformation concernées, ni à suggérer une collaboration : la source présente le résultat de Seki comme indépendant des travaux occidentaux.

Dire que Seki a devancé des contemporains européens ne vaut pas pour l’ensemble de ses travaux. La comparaison doit rester attachée aux résultats explicitement cités, notamment sa théorie autonome des déterminants quelques années avant Leibniz.

Algèbre — Pour replacer les équations, les inconnues et l’élimination au cœur du principal domaine de recherche de Seki.

Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) — Pour prolonger la réflexion sur l’approximation de π avec une méthode différente de celle associée à Seki.