sommation d'Euler

Additionnons 1 − 2 + 3 − 4 + … Les sommes partielles donnent successivement 1, −1, 2, −2, 3, −3 : elles ne se stabilisent pas. La sommation d’Euler change alors de point de vue. Elle place les termes dans une série entière dépendant d’une variable, prolonge la fonction ainsi obtenue, puis regarde sa valeur au point 1. Cette valeur n’est pas la somme ordinaire de la série divergente : c’est une valeur attribuée par une procédure précise.

La sommation d’Euler est une méthode de sommation pour certaines séries qui divergent au sens ordinaire. À une suite de coefficients notés a_n, elle associe d’abord la série entière de variable complexe z :

On fixe un paramètre réel q pour lequel l’expression −1/(q+1) est définie. La fonction représentée par la série près de son domaine initial doit admettre un prolongement analytique sur le disque ouvert ayant pour diamètre le segment de −1/(q+1) à 1. Ce prolongement doit en outre se prolonger continûment jusqu’au point z = 1. Sa valeur F(1) est alors appelée somme d’Euler de la série, selon la méthode notée (E, q). La notation indique donc une valeur obtenue sous des hypothèses de prolongement, et non la limite des sommes partielles. La procédure peut aussi être itérée : des applications successives étendent progressivement la série entière jusqu’au point 1.

On rencontre la sommation d’Euler devant une série infinie dont les sommes partielles oscillent ou s’éloignent au lieu de tendre vers une limite. L’énoncé fait alors apparaître des coefficients a_n, une variable z, une série entière et un point particulier z = 1. Il peut aussi préciser un paramètre q et un disque dont l’autre extrémité est −1/(q+1). Ces marqueurs signalent que l’on étudie la fonction encodée par les coefficients, afin de savoir si son prolongement fournit une valeur au point 1.

La grandeur à lire est la valeur au point z = 1 de la fonction prolongée, pas une limite cachée des sommes partielles.

1. On observe d’abord les sommes partielles pour constater si la série converge au sens ordinaire. 2. On construit la série entière avec les mêmes coefficients et les puissances de z. 3. Pour le paramètre q choisi, on vérifie l’existence du prolongement analytique sur le disque requis, puis sa continuité au point 1. 4. On évalue enfin la fonction prolongée en 1 et on annonce explicitement une somme d’Euler (E, q).

Une suite de premiers termes qui semble alterner régulièrement peut donner l’illusion qu’une moyenne visuelle suffit. Le bon réflexe consiste à distinguer trois objets : les termes, leurs sommes partielles et la fonction prolongée. Seul le dernier intervient dans la valeur d’Euler définie ici.

Prenons la série alternée des entiers 1 − 2 + 3 − 4 + … Ses coefficients sont a_n = (−1)ⁿ(n+1), l’indice n commençant à 0. Nous choisissons q = 1 ; le disque demandé a alors pour diamètre le segment de −1/2 à 1.

1. Constater la divergence. Les premières sommes partielles sont 1, −1, 2, −2, 3 et −3. Elles ne tendent vers aucune valeur.

2. Former la série entière. Pour |z| < 1, l’identité obtenue à partir de la série géométrique donne :

3. Vérifier le prolongement. La fonction 1/(1+z)² est analytique dans le disque ouvert de diamètre [−1/2, 1]. Son seul pôle, situé en z = −1, reste en dehors de ce disque. La fonction se prolonge continûment en z = 1.

4. Évaluer et contrôler. On obtient F(1) = 1/(1+1)² = 1/4. Ainsi, 1 − 2 + 3 − 4 + … a pour somme d’Euler (E, 1) la valeur 1/4. Le contrôle consiste à remplacer z par 1 dans la fonction prolongée, sans prétendre que les sommes partielles convergent vers 1/4. La représentation graphique oppose précisément ces deux comportements.

Face à une série, on commence toujours par tester la convergence ordinaire de ses sommes partielles. Si elles ont une limite, cette limite répond directement au problème ; la sommation d’Euler devient surtout un autre cadre de lecture.

Lorsque les sommes partielles divergent mais que les coefficients forment une série entière exploitable, on cherche la fonction qu’elle représente. La méthode d’Euler est utilisable seulement si le prolongement et la continuité en z = 1 exigés par le paramètre q sont établis.

Si une seule application n’atteint pas le point 1, l’itération mentionnée dans la définition peut étendre le prolongement par étapes. À chaque étape, il faut conserver les conditions analytiques au lieu de transformer une intuition numérique en égalité.

Somme ordinaire. Elle est la limite des sommes partielles. Pour 1 − 2 + 3 − 4 + …, ces sommes valent tour à tour 1, −1, 2, −2, … et divergent : 1/4 est une somme d’Euler, pas une somme ordinaire.

Prolongement analytique. Celui-ci étend une fonction au-delà du domaine où sa série initiale la représente. La sommation d’Euler utilise ce prolongement dans un but supplémentaire : attribuer à la série la valeur atteinte en z = 1 lorsque les conditions sont remplies.

Le paramètre q = −1. L’extrémité −1/(q+1) n’est alors pas définie. Le disque exigé par cette formulation ne peut donc pas être construit ; il faut choisir un paramètre admissible avant d’appliquer le critère.

Un obstacle dans le disque. Si la fonction rencontre un point où aucun prolongement analytique n’existe à l’intérieur du disque requis, la procédure s’arrête. Une valeur obtenue par simple extrapolation numérique ne remplace pas cette condition.

Une mauvaise arrivée en z = 1. Atteindre des points arbitrairement proches de 1 ne suffit pas : la prolongation doit être continue au point 1. Sans valeur limite bien définie à cet endroit, aucune somme d’Euler (E, q) n’est fournie.

Le symbole égal. Écrire 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 sans préciser la méthode laisse croire à une convergence ordinaire. Il faut écrire que 1/4 est la somme d’Euler (E, 1) de cette série.

La série entière précise comment une suite de coefficients encode une fonction autour d’un point.

Le glossaire Prolongement analytique (principe du) éclaire l’étape qui étend cette fonction jusqu’au voisinage du point z = 1.

La notice Euler Leonhard replace dans son parcours le mathématicien qui employait cette technique avant sa formalisation rigoureuse.